Suites numériques

(un) est une suite g´eom´etrique d´efinie pour tout n∈Nde raisonq et de premier termeu0

Dans chaque cas, d´eterminer u₀ etq puis exprimer u_n en fonction de n

Penser `a contrˆoler les r´esultats avec le menu RECUR de la calculatrice (fiche m´ethode calculatrice et suites)

1. u3 = 8 etu4 = 2

* Solution:

(un) est g´eom´etrique de premier termeu0 et de raisonq doncun+1 =un×q

En prenantn= 3, on a : u₄ =u₃×q

⇐⇒2 = 8q

⇐⇒q= 2 8

⇐⇒q= 1 4

On a alorsu_n=u₀× 1

4ⁿ en effet ((1

4)ⁿ= 1ⁿ 4ⁿ = 1

4ⁿ) u3 =u0×q³

donc il faut r´esoudre l’´equation 8 =u0× 1 4³ 8 =u₀× 1

4³

⇐⇒8 =u0× 1 4³

⇐⇒8×4³ =u₀

⇐⇒512 =u₀

u0 = 512,q = 1

4 etun= 512 4ⁿ 2. u4 = 8 etu6 = 32

* Solution:

(u_n) est g´eom´etrique de premier termeu₀ et de raisonq doncun+1 =un×q etun=uk×q^n−k

En prenantn= 6 etk= 4, on a : u₆ =u₄×q²

⇐⇒32 = 8q²

⇐⇒4 =q²

⇐⇒q=√

4 = 2 ou bien q=−√

4 =−2

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1-Recherche de la raison et du premier terme d'une suite géométrique

Suites numériques

Il y a deux suites possibles de raisonsq₁= 2 etq₂=−2 Premier cas : q1 = 2

On a alorsun=u0×2ⁿ u₄ =u₀×2⁴

donc il faut r´esoudre l’´equation 8 =u0×2⁴ 8 =u0×16

⇐⇒u₀ = 8 16

⇐⇒u0 = 1 2 et doncun= 2ⁿ

2 = 2ⁿ⁻¹ Deuxi`eme cas :q2 =−2 On a alorsu_n=u₀×(−2)ⁿ u₄ =u₀×(−2)⁴ =u₀×2⁴

donc il faut r´esoudre l’´equation 8 =u0×2⁴ doncu0= 1

2 (mˆeme ´equation que le cas 1) et doncu_n= (−2)ⁿ

2 = (−1)ⁿ×2ⁿ

2 = (−1)ⁿ×2ⁿ⁻¹

u₀ = 1

2,q= 2 etu_n= 2ⁿ⁻¹ ou bien

u₀ = 1

2,q=−2 et u_n= (−1)ⁿ×2ⁿ⁻¹

Un article coˆute 210 euros en 2012. Chaque ann´ee, il augmente de 3%.

1. calculer le prix de cet article en 2013 et 2014

* Solution:

Augmenter l’article de 3% revient `a appliquer le coefficient multiplicateur 1 + 3

100 = 1,03 En 2013, le prix sera donc de :

210×1,03 = 216,3 euros En 2014, le prix sera donc de : 216.3×1,03 = 222,789

Le prix en 2014 est de 222,79 euros environ arrondi au centime pr`es.

Cet article coˆute 210,3 euros en 2013 et environ 222,79 euros en 2014 2. On notep_nle prix de cet article au cours de l’ann´ee 2012+n (n∈N).

Montrer que (pn) est une suite g´eom´etrique puis exprimerpn en fonction de n

* Solution:

Pour tout entier naturel n le prix de l’ann´ee 2012+n est multipli´e par 1,03 pour obtenir le prix de l’ann´ee suivante soit pn+1

On a donc pn+1 = 1,03pn donc (pn) est une suite g´eom´etrique de raison 1,03 et premier terme p₀ = 210 (prix de l’ann´ee 2012+0 soit 2012)

(pn) est une suite g´eom´etrique de premier terme p0 = 210 et raisonq = 1,03 donc on a : pn=p0×qⁿ= 210×1,03ⁿ

p_n= 210×1,03ⁿ

3. Calculer le prix de cet article en 2020.

* Solution:

2020=2012+8 donc il faut calculerp8

p8 = 210×1,03⁸ '266,02

Le prix en 2020 est environ de 266,02 euros

Page 3/18 2222-

Suite géométrique et pourcentage

4. Avec la calculatrice, d´eterminer `a partir de quelle ann´ee le prix aura au moins doubl´e

* Solution:

On veutpn≥420 p_n≥420

⇐⇒210×1,03ⁿ≥420

⇐⇒1,03ⁿ≥2

Avec le menu TABLE de la calculatrice, il faut saisir la fonction Y1=1,03^x et param´etrer le tableau de valeurs avec X-START :0, X-END :50 par exemple et PITCH :1, on obtient :

Pour n= 23p₂₃'1,97 et p₂₄'2,03 On a donc 1,03ⁿ≥2 pourn≥24

Le prix aura au moins doubl´e `a partir de 2012+24=2036.

A partir de 2036, le prix aura doubl´e

Pour chaque cas ci-dessous, (un) est une suite g´eom´etrique de raison q et premier termeu0

Penser `a contrˆoler les r´esultats avec le menu RECUR de la calculatrice (fiche m´ethode calculatrice- somme des termes d’une suite)

1. u0 = 3 etq= 2

calculeru₀+u₁+u₂+...+u₉+u₁₀

* Solution:

(un) est une suite g´eom´etrique de premier terme u0 = 3 et raisonq= 2 u₀+u₁+u₂+...+u₉+u₁₀

Il y a 10−0 + 1 = 11 termes dans cette somme donc on a :

=u0×1−q¹¹ 1−q

= 3×1−2¹¹ 1−2

= 3×1−2¹¹

−1

=−3(1−2¹¹)

= 6141

u0+u1+u2+...+u9+u10= 6141

2. u₀= 1 etq = 3

calculeru2+u3+...+u19+u20

* Solution:

(un) est une suite g´eom´etrique de premier termeu0= 1 et raison q= 3 doncu_n=u₀×qⁿ= 3ⁿ

Calcul du premier terme de la somme u₂ :u₂ =u₀+ 3²= 9 Il y a 20−2 + 1 = 19 termes dans cette somme donc on a : u₂+u₃+...+u₁₉+u₂₀

=u₂×1−q¹⁹ 1−q

= 9×1−3¹⁹ 1−3

= 9×1−3¹⁹

−2

= 5230176597

u2+u3+...+u19+u20= 5230176597 Page 5/18

3- Somme des termes d'une suite géométrique

Dans une grande entreprise, le salaire mensuel d’un cadre embauch´e au premier janvier 2012 est de 2500 euros.

Chaque ann´ee,son salaire mensuel augmente de 4%.

Pour tout entier naturel n, on noteSnle salaire mensuel (en euros) de ce cadre pour l’ann´ee 2012 +n 1. Calculer le salaire mensuel de ce cadre pour l’ann´ee 2013

* Solution:

Augmenter le salaire mensuel de 4% revient `a appliquer le coefficient multiplicateur 1+ 4

100 = 1,04 En 2013, le salaire mensuel sera donc de :

2500×1,04 = 2600 euros

Le salaire mensuel de ce cadre sera donc de 2600 euros en 2013 Remarque

On peut aussi trouver ce r´esultat en calculant : 2500 + 4

100×2500 = 2500(1 + 4 100

2. D´eterminer la nature de la suite (S_n) puis exprimerS_n en fonction de n

* Solution:

Pour tout entier naturelnle salaire mensuel de l’ann´ee 2012 +nest multipli´e par 1 + 4

100 = 1,04 pour obtenir le salaire mensuel de l’ann´ee suivante soit S_n+1

On a doncS_n+1 = 1,04S_n donc (S_n) est une suite g´eom´etrique de raison 1,04 et premier terme S0= 2500 (salaire de l’ann´ee 2012+0 soit 2012)

(Sn) est une suite g´eom´etrique de premier terme S0= 2500 et raison q = 1,04 donc on a : Sn=S0×qⁿ= 2500×1,04ⁿ

S_n= 2500×1,04ⁿ

3. Calculer le salaire mensuel en 2020 arrondi `a l’euro pr`es.

* Solution:

2020=2012+8 donc il faut calculerS8

4- Suite géométrique et pourcentage

Exercice 1:

S₈= 2500×1,04⁸ '3421

Le salaire mensuel en 2020 est environ de 3421 euros

4. Avec la calculatrice, d´eterminer `a partir de quelle ann´ee le salaire mensuel sera sup´erieur `a 3000 euros

* Solution:

On veutSn≥3000 Sn≥3000

⇐⇒2500×1,04ⁿ≥3000

⇐⇒1,04ⁿ≥ 3000 2500

⇐⇒1,04ⁿ≥ 6 5

Avec le menu TABLE de la calculatrice, il faut saisir la fonction Y1=1,04^x et param´etrer le tableau de valeurs avec X-START :0, X-END :50 par exemple et PITCH :1, on obtient :

On a donc 1,04⁴≥1,7 et 1,04⁵ '1,22

Avec le MENU RECUR de la calculatrice, en choisissant TYPE an et en saisissant la forme explicite deS_nsoit 2500×1,04 puis en param´etrant dans SET (ou bien RANG) les valeurs denallant de 0 `a 50 par exemple, on obtient S4 '2924 etS5 '3042

Le salaire mensuel sera donc sup´erieur `a 3000 euros `a partir de n = 5 soit `a partir de l’ann´ee 2012 + 5 = 2017

A partir de 2017, le salaire mensuel sera sup´erieur `a 3000 euros

5. Calculer la somme per¸cue par ce cadre entre le premier janvier 2012 et le premier janvier 20020 arrondie

`

a l’euro pr`es.

* Solution:

Il faut calculer la somme des salaires entre le 01/01/2012 et le 31/12/2019 puisque l’ann´ee 2020 n’est pas compt´ee

Or 2019=2012+7

La somme des salaires mensuels est alorsS0+S1+....+S7 soit la somme de 8 termes cons´ecutifs de la suite

(S_n) est une suite g´eom´etrique de premier terme S₀= 2500 et de raison q= 1,04 S₀+S₁+S₂+....+S₇ = 2500×1−1,04⁸

1−1,04

Chaque ann´ee, il per¸coit douze mois de salaire donc il a gagn´e au total : Page 7/18

S= 12×2500×1−1,04⁸

1−1,04 '276427

Il aura gagn´e alors 276427 euros

Eviter d’utiliser la valeur arrondie de S₀+S₁+...S₇ puis de la multiplier par 12 car l’erreur commise avec la valeur arrondie de la sommeS0+S1+...S7 est elle aussi multipli´ee par 12.

On a alors :S₀+S₁+....+S₇ '23036 et 12×23036 = 276432

Le carbone 14 est un ´el´ement radioactif et les tissus animaux ou v´eg´etaux contiennent la mˆeme proportion de carbone 14 durant leur vie.

Cette proportion d´ecroit ensuite de 1,24 % tous les 100ans pour les tissus morts On note Qle pourcentage initial de carbone 14 contenu dans les tissus vivants.

1. D´eterminer le pourcentage de la proportion initiale de carbone 14 dans des tissus morts apr`es 1000 ans, 10000 ans

* Solution:

Si on noteQ0la proportion initiale de carbone 14 dans les tissus vivants etQnla proportion de carbone 14 dans les tissus morts apr`es 100nann´ees, on a :

Q_n+1=Q_n−1,24

100Q_n=Q_n(1−1,24

100) = 0,9876Q_n

(Q_n) est donc une suite g´eom´etrique de premier terme Q₀ et raison q= 0,9876 doncQ_n=Q₀×0,9876ⁿ

Apr`es 1000 ans , on a doncQ₁₀=Q₀×0,9876¹⁰

Le pourcentage de la proportion initiale apr`es 1000 ans est donc : Q₁₀

Q0

×100 = 0,9876¹⁰×100'88,3%

Le pourcentage de la proportion initiale contenue dans les tissus morts 1000 ans est environ de 88.3%

On effectue le mˆeme calcul pour 10000 ans soit pour n= 100 : EXERCICE 2:

100 =Q0×0,9876¹⁰⁰

Le pourcentage de la proportion initiale apr`es 10000 ans est donc : Q100

Q0

×100 = 0,9876¹⁰⁰×100'28.7%

Le pourcentage de la proportion initiale contenue dans les tissus morts 10000 ans est environ de 28,7%

Q

2. D´eterminer l’ˆage d’un squelette contenant 5% du carbone 14 initial.

* Solution:

Qn=Q0×0,9876ⁿ

On veut d´eterminer npour que Qn

Q0

= 5 100

soit 0,9876ⁿ= 0,05

Avec le MENU TABLE de la calculatrice, en saisissant la fonction Y1=0,9876^X et en param´etrant dans SET (ou RANG) XSTART=150, XEND=250 et PITCH=1

on obtient 0,9876²⁴⁰ '0,497 240×100 = 24000

On peut donc dire que ce squelette a environ 24000 ans

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On consid`ere la suite (un) d´efinie pour tout entier naturelnpar la relation un+1= 0,8un+ 5 etu0 = 0 1. Calculer u1 etu2.

* Solution:

u1= 0,8×u0+ 5 = 0 + 5 = 5 et u2 = 0,8×u1+ 5 = 0,8×5 + 5 = 9 2. Pour tout entier naturel n, on pose wn=un−25

Montrer que w_n est g´eom´etrique en pr´ecisant son premier terme et sa raison.

* Solution:

wn+1=un+1−25

= 0,8u_n+ 5−25

= 0,8u_n−20

= 0,8(un−25) (car 0,8×25 = 20)

= 0,8w_n

donc (w_n) est une suite g´eom´etrique de raisonq= 0,8 et premier termew₀ =u₀−25 = 0−25 =−25

(w_n) est une suite g´eom´etrique de raisonq= 0,8 et premier termew₀ =−25 3. Exprimer alors wn puis un en fonction de n.

* Solution:

(w_n) est une suite g´eom´etrique de raisonq= 0,8 et premier termew₀ =−25 wn=w0×qⁿ=−25×0,8ⁿ

w_n=u_n−25⇐⇒u_n=w_n+ 25

doncu_n=−25×0,8ⁿ+ 25

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5 - Suite arithmético-géométrique - forme explicite - limite

4. D´eterminer la limite dew_n et en d´eduire celle deu_n.

* Solution:

(wn) est une suite g´eom´etrique de raisonq∈]0; 1[

donc lim

n→+∞w_n= 0

et un=wn+ 25 donc par somme lim

n→+∞un= 25

n→+∞lim u_n= 25

5. D´eterminer l’indicen`a partir duquel on a un>24

* Solution:

Avec la calculatrice, on utilise le menu RECUR de la calculatrice en s´electionnant TYPE a_n+1 si on utilise la relation de r´ecurrence un+1 = 0,8un+ 5 et TYPE an si on utilise la forme explicite un =

−25×0,8ⁿ+ 25.

Attention `a param´etrer dans SET ou RANG le premier terme a0 si on utilise la relation de r´ecurrence et les indices pour lesquels on veut calculer u_n

On obtient u14'23,9 et u15'24,12

donc pour n≥15 on a u_n>24 Remarque

On peut aussi utiliser le MENU TABLE en saisissant la fonction Y1=−25×0,8^X+25 et en param´etrant dans SET (ou RANG) XSTART=0 , XEND=50 par exemple et PITCH=1

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Pierre a deux propositions pour son salaire lors de son arriv´ee dans une entreprise le 01/01/2009 :

Proposition 1 :Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la premi`ere ann´ee et son salaire mensuel augmente chaque ann´ee de 115 euros.

Proposition 2 : Il commence avec un salaire de 2000 euros mensuel la premi`ere ann´ee et son salaire mensuel augmente chaque ann´ee de 5%.

Partie A

On note u_n son salaire du mois de janvier de l’ann´ee 2009+n avec la proposition 1.

1. D´eterminer u₀ puis calculeru₁

* Solution:

u0 est le salaire pendant l’ann´ee 2009 donc u0 = 2000 euros mensuels.

u1 est le salaire pendant l’ann´ee 2010 donc u1 = u0+ 115 = 2115 euros mensuels. (le salaire mensuel augmente de 115 euros chaque ann´ee)

u0 = 1000 et u1 = 2115

2. Quelle est la nature de la suite (u_n) ?

* Solution:

un est le salaire mensuel de l’ann´ee d’indice netun+1 est le salaire mensuel de l’ann´ee suivante.

Chaque ann´ee, on ajoute 115 euros au salaire mensuel donc u_n+1=u_n+ 115 (forme u_n+1=u_n+r)

(u_n) est une suite arithm´etique de premier terme u₀= 2000 et raison r = 115 3. Exprimer u_n en fonction de n

* Solution:

(u_n) est une suite arithm´etique de premier terme u₀= 2000 et raison r = 115 donc un=u0+nr= 2000 + 115n

u_n= 2000 + 115n

6 - Comparaison de deux formules - suite arithmétique et suite géométrique

4. D´eterminer `a partir de quelle ann´ee son salaire mensuel sera sup´erieur `a 2800 euros avec la proposition 1.

* Solution:

On cherche ntel queun>2800.

u_n>2800

⇐⇒2000 + 115n >2800

⇐⇒115n >800

⇐⇒n > 800 115

et nest un entier doncn≥7

l’ann´ee d’indice 7 correspond `a 2009 + 7 = 2016

Le salaire mensuel est sup´erieur `a 2800 euros `a partir de l’ann´ee 2016

Partie B

On note vn son salaire du mois de janvier de l’ann´ee 2009+n avec la proposition 2.

1. D´eterminer v0 puis calculer v1

* Solution:

v₀ est le salaire pendant l’ann´ee 2009 doncv₀ = 2000 euros mensuels.

v1 est le salaire pendant l’ann´ee 2010 donc v1 = v0 +v0× 5

100 = 1,05v0 = 2100 euros mensuels. (le salaire mensuel augmente de 5% chaque ann´ee)

v₀ = 2000 etv₁ = 2100

2. Quelle est la nature de la suite (vn) ?

* Solution:

v_n est le salaire mensuel de l’ann´ee d’indice netv_n+1 est le salaire mensuel de l’ann´ee suivante soit v_n augment´e de 5%

v_n+1 =v_n+v_n× 5

100 = 1,05v_n (forme v_n+1 =qv_n)

(v_n) est une suite g´eom´etrique de raisonq = 1,05 et premier terme v₀= 2000 Remarque

Augmenter de 5% revient `a appliquer chaque ann´ee le coefficient multiplicateur 1 + 5

100 = 1,05

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3. Exprimer v_n en fonction de n

* Solution:

(vn) est une suite g´eom´etrique de raisonq = 1,05 et premier terme v0= 2000 donc v_n=v₀×qⁿ= 2000×1,05ⁿ

v_n= 2000×1,05ⁿ

4. Avec la calculatrice pou un tableur, d´eterminer `a partir de quelle ann´ee son salaire mensuel sera sup´erieur

`

a 2800 euros avec la proposition 2.

* Solution:

Il faut r´esoudre l’in´equation vn>2800 v_n>2800

⇐⇒2000×1,05ⁿ>2800

⇐⇒1,05ⁿ> 2800 2000

⇐⇒1,05ⁿ> 7 5

⇐⇒1,05ⁿ>1,4

Avec le menu table de la calculatrice en saisissant la fonction Y1= 1,05^x et en param´etrant dans SET X-START :0, X-END :50 par exemple et PITCH :1

on obtient 1,05⁶ '1,34 et 1,05⁷ '1,407

donc le salaire est sup´erieur `a 2800 euros `a partir de l’ann´ee de d’indicen= 7 soit 2009 + 7 = 2016

Le salaire mensuel est sup´erieur `a 2800 euros `a partir de 2016 Remarque

On peut aussi saisir la suite vn dans le menu RECUR de la calculatrice, soit avec sa forme explicite v_n= 2000×1,05ⁿ (TYPEa_n) soit avec sa forme de r´ecurrence v_n+1= 1,05v_n (TYPEa_n+1)

voir fiche m´ethode calculatrice et suites (chap 4)

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Partie C

1. D´eterminer quelle est la proposition permettant d’avoir un salaire mensuel le plus ´elev´e en 2019.

* Solution:

2019 = 2009 + 10

Il faut donc calculer u₁₀ etv₁₀

u10= 2000 + 115×10 = 3150 euros mensuels en 2019 avec la premi`ere formule.

v10= 2000×1,05¹⁰'3258 euros mensuels environ avec la seconde formule.

En 2019 avec la proposition 1 le salaire mensuel est de 3150 euros et de 3258 euros environ avec la n^o2 2. D´eterminer quelle est la proposition permettant de gagner le plus entre le premier janvier 2009 et le 31

d´ecembre 2019.

* Solution:

Il faut donc calculer u0+u1+...+u10 puis v0+v1+...+v10 et multiplier par 12 (12 mois par an et les suites donnent les salaires mensuels de l’ann´ee).

u₀+u₁+...+u₁0 = 11×u₀+u₁₀

2 = 11×2000 + 3150

2 = 28325

et 12×28325 = 339900 euros au total avec la formule 1.

v₀+v₁+...+v₁0 =v₀×1−1,05¹¹

1−1,05 '28413,57

et 12×28413,57 = 340962,84 euros au total avec la formule 2 qui est donc plus avantageuse.

La proposition 2 est alors plus avantageuse

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Une association constate que chaque ann´ee, 20% de ses adh´erents de l’ann´ee pr´ec´edente ne renouvellent pas leur adh´esion et qu’il y a 300 nouveaux adh´erents.

On veut ´etudier l’´evolution du nombre d’adh´erents au cours des ann´ees.

On note u_n le nombre d’adh´erents de l’association lors de la n-i`eme ann´ee.

1. Sachant queu1 = 1000, calculeru2 puis u3

* Solution:

u2 =u1− 20

100u1+ 300 = 1000−200 + 300 = 1100 u₃ =u₂− 20

100u₂+ 300 = 1100−220 + 300 = 1180

u2= 1100 et u3 = 1180

2. Montrer que pour tout entier natureln,u_n+1 = 0,8u_n+ 300

* Solution:

Diminuer une valeur de 20% revient `a appliquer le coefficient multiplicateur 1− 20

100 = 0,8 donc l’ann´ee suivante, il reste 0,8u_n des adh´erents de l’ann´ee pr´ec´edente

Il s’ajoute ensuite 300 adh´erents suppl´ementaires pour obtenir le nombre d’adh´erents l’ann´ee suivante

soitun+1 = 0,8un+ 300

On peut aussi effectuer le calcul : un+1=un− 20

100un+ 300

=un−0,2un+ 300

= 0,8u_n+ 300 3. On posevn= 1500−un

Montrer que (v_n) est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison et le premier terme.

* Solution:

v_n+1 = 1500−u_n+1

= 1500−(0,8u_n+ 300) (car u_n+1= 0,8u_n+ 300)

= 1500−0,8un−300

= 1200−0,8un

= 0,8(1500−un) (on factorise par le coefficient deun, ici 0,8 et 0,8×1500 = 1200) EXERCICE 1:

7 - Suite de la forme U

=

U

= 0,8v_n

Le premier terme de la suite (un) est celui d’indice 1 soitu1 = 1000 On a v₁= 1500−u₁= 1500−1000 = 500

(v_n) est une suite g´eom´etrique de premier terme v₁ = 500 et de raison q= 0,8

4. En d´eduire l’expression de un en fonction den

* Solution:

(vn) est une suite g´eom´etrique de premier terme v1 = 500 et de raison q= 0,8 doncv_n=v₁×qⁿ⁻¹= 500×0,8ⁿ⁻¹

Le premier terme de la suite (vn) est celui d’indice 1 soitv1

On a v_n= 1500−u_n⇐⇒u_n= 1500−v_n doncun= 1500−vn= 1500−500×0,8ⁿ⁻¹

u_n= 1500−500×0,8ⁿ⁻¹

5. En d´eduire le nombre d’adh´erents la dixi`eme ann´ee

* Solution:

On a icin= 10

u₁₀= 1500−500×0,8¹⁰≈1433

Il y aura environ 1433 adh´erents la dixi`eme ann´ee.

6. Cette association peut-elle esp´erer d´epasser la barre des 1500 adh´erents ?

* Solution:

u_n≥1500

⇐⇒1500−500×0,8ⁿ⁻¹≥1500

⇐⇒ −500×0,8ⁿ⁻¹≥0

⇐⇒0,8ⁿ⁻¹ ≤0 (on change le sens de l’in´egalit´e en divisant par−500 qui est n´egatif) 0,8ⁿ⁻¹ >0 donc cette in´equation n’a pas de solution

L’association ne d´epassera jamais la barre des 1500 adh´erents

En ´ecrivant que la raison de la suite g´eom´etrique (v_n) est q= 0,8 et queq ∈]0; 1[

on a lim

n→+∞vn= 0

etu_n= 1500−v_n donc par somme lim

n→+∞u_n= 1500

Cela ne signifie pas queun<1500 mais seulement que apr`es un grand nombre d’ann´ee, le nombre

d’adh´erents sera proche de 1500. Page 17/18

On consid`ere la suite (un) d´efinie par la relationun+1= 0,2un+ 8 etu0= 3 PARTIE A :Lectures graphiques

Soit la fonctionf d´efinie sur [0; +∞[ parf(x) = 0,2x+ 8.

1. Calculerf(3) puisu₁. Calculerf(8,6) puisu₂. 2. Compl´eter :u_n+1= 0,2u_n+ 8 =f(...)

3. Quelle est la repr´esentation graphique de la fonctionf?

4. Tracer la repr´esentation graphique de f dans le rep`ere ci-dessous.

5. Placeru0sur l’axe des abscisses.

On au1=f(u0). Placeru1 sur l’axe des ordonn´ees puis sur l’axe des abscisses.

6. Placer de mˆemeu2, u3 puisu4 sur l’axe des abscisses.

7. D’apr`es le graphique quel semble ˆetre le sens de variation de la suiteun? sa limite ?

Partie 2 :Forme explicite deun

1. Pour tout entier natureln, on posewn=un−10.

Montrer quew_n est g´eom´etrique en pr´ecisant son premier terme et sa raison.

2. Exprimer alorsw_n puisu_n en fonction den 3. Etudier les variations de la suite (un)

4. D´eterminer la limite dewn et en d´eduire celle deun. EXERCICE 2: