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èreES/L - Devoir commun de mathématiques – Mai 2019 – Consignes :
• L'énoncé n'est pas à rendre.
• Une seule calculatrice autorisée.
• Echange de matériel interdit.
NOM : Classe : NOM du professeur de Mathématiques : Note :
Exercice 1 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.
Les réponses devront être justifiées.
1. Le prix d’un article soldé est de 41,40 €. L’étiquette indique « – 40 % ».
Le prix de l’article avant les soldes était de :
a. 69 € b. 81,40 € c. 58 €
2. Le prix d'un objet augmente de 20 % puis baisse de 10 %.
L’évolution globale est alors une hausse de :
a. 10 % b. 1,08 % c. 8 %
3. On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :
f (x) = x² + 5x 3x + 4 .
La dérivée de la fonctionf
est donnée par :a.
f '(x) = 2x + 5
3
b.f '(x) = 9x² + 38x + 20
(3x + 4)²
c.f '(x) = 3x² + 8x + 20 (3x + 4)²
4. On considère la fonction
g
définie pour tout nombre réelx
par :g(x) = 2x
3+ 4x + 2.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de
g
au point d’abscisse 2 est : a.y = 26x + 2
b.y = 28x – 30
c.y = 28x + 26
Exercice 2 4 points
Le biathlon est une discipline sportive mêlant ski de fond et tir à la carabine en position couchée ou debout.
Lors de l’épreuve de poursuite, les biathlètes ont au total 20 tirs à effectuer.
Martin Fourcade, biathlète français, a été sacré champion olympique de poursuite aux J.O. de Pyeongchang en 2018. Son taux de réussite au tir est de 90%, quelle que soit la position.
On considère que les conditions de tir sont les mêmes et que tous les tirs sont indépendants.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui prend comme valeur le nombre de tirs réussis par Martin Fourcade lors d’une compétition de poursuite.
Les résultats des calculs de probabilités seront arrondis à 𝟏𝟎−𝟑. 1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire 𝑋 ? Justifier.
2. Calculer la probabilité que Martin Fourcade réussisse 15 tirs 3. Calculer la probabilité que Martin Fourcade ne rate aucun tir.
4. Calculer la probabilité que Martin Fourcade réussisse au moins 18 tirs.
5. Calculer 𝐸(𝑋) .
Interpréter le résultat obtenu.
Exercice 3 6 points
Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots. Elle fabrique entre 2 et 14 lots par jour.
Partie A : Lectures graphiques
On note
𝐶(
𝑥)
le coût de fabrication journalier (en centaines d'euros) dex
lots et𝑅
(𝑥) la recette réalisée par la vente de cesx
lots (en centaines d'euros)Les courbes des fonctions
𝐶 et 𝑅
sont données ci-dessous.A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes : 1. a) Quel est le coût de fabrication de 13 lots ?
b) Combien de lots sont fabriqués pour un coût de 2500 € ? 2. a) Quelle est la recette pour 9 lots vendus ?
b) Combien de lots sont vendus pour une recette de 3500 € ? c) En justifiant, donner le signe de
R
'(x
) sur [2 ; 10].3. a) Combien doit-on produire de lots pour que l'entreprise réalise un bénéfice chaque jour ? b) Pour quel nombre de lots le bénéfice vous paraît-il maximal ?
Partie B : Etude du bénéfice
On sait à présent que le bénéfice obtenu pour la fabrication et la vente de
x
lots est donné par :f (x) = – 0,2x
3+ 3,3x² – 14,4x + 30,
pourx
appartenant à [2 ; 14].1. Calculer 𝑓
′(𝑥)
.2. Etudier le signe de
f '(x)
et en déduire le tableau de variation de la fonctionf
sur l'intervalle [2 ; 14].3. Combien de lots faut-il fabriquer et vendre pour obtenir le bénéfice maximal ? Quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?
Exercice 4 6 points
Un employeur donne le choix à un salarié à temps partiel entre deux modes de rémunération :
• Proposition A : salaire mensuel brut de 1200 euros au premier janvier 2015 puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 15 euros du salaire mensuel brut ;
• Proposition B : salaire mensuel brut de 1000 euros au premier janvier 2015 puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 4 % du salaire mensuel brut.
On se propose d’étudier quelle est la proposition la plus intéressante pour ce salarié.
On note pour tout 𝑛 ∈ ℕ :
• 𝒖𝒏 le salaire mensuel brut au premier janvier de l’année (2015 + 𝑛) pour la proposition A ;
• 𝒗𝒏 le salaire mensuel brut au premier janvier de l’année (2015 + 𝑛) pour la proposition B.
1. Calculer 𝑢1, 𝑢2, 𝑣1 et 𝑣2.
2. Déterminer la nature et la raison de chacune des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛). Justifier votre réponse.
3. Exprimer, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 et 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
4. Calculer, pour chacune des deux propositions, le salaire mensuel brut en 2023. Les résultats seront arrondis à l’euro.
5. a) Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien d’années, le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition A dépassera 1400 euros.
b) On se pose la même question pour le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B et pour cela on considère l’algorithme incomplet suivant :
𝑁 ← 0 𝑉 ← 1000
Tant que ...
𝑉 ← ...
𝑁 ←...
Fin tant que Afficher 𝑁
Compléter cet algorithme.
6. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B dépassera celui obtenu avec la proposition A.
