PourbiendémarrerIntro1: DossierN ° 18STMG1

Texte intégral

(1)Suites arithmétiques et géométriques. STMG 1. Dossier N° 18 Pour bien démarrer. Intro 1 : - ............................................... Deux coureurs cyclistes, Léo et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire afin de se préparer à une course qui aura lieu dans quelques mois. Leur objectif est de parcourir chacun une distance totale de 1500 km pendant leur période d’entraînement de 20 semaines.. (b) Quelle formule faut-il écrire dans la cellule C3 qui, une fois recopiée vers le bas, donnera les distances d’entraînement de Vivien chaque semaine. ? - .............................................. - ............................................... n Léo commence son entraînement en parcourant 40 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de 5 km chaque semaine. n Vivien commence son entraînement en parcourant 30 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de. 3. Construire cette feuille de calcul (Avec Excel) de façon à ce que les cellules soient complétées jusqu’à la semaine 20 Vous disposez d’un tableur ici : https: // accueil. framacalc. org/ fr/. 4. Sélectionner la plage de cellule A2 :C21 puis insérer un graphique en nuages de points.. 5. A partir de quelle semaine, la distance d’entraînement parcourue par Vivien dépassera celle parcourue par Léo ?. 10 % par semaine.. 1 Calculer les distances parcourues par Léo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement. - ................................................... - ................................................... - ................................................... 2 On considère la feuille de calcul ci-dessous :. 6 On considère le programme Python ci-dessous :. u=40 v=30 n=1 while u>=v: u=u+5 v=v*1.10 n=n+1 print(n). Quel est la valeur affichée par ce programme ? - ................................................... Vous pouvez utiliser python ici : https ://repl.it/repls/SlushyBabyishMyna. (a) Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B3 qui, une fois recopiée vers le bas, donnera les distances d’entraînement de Léo chaque semaine. ? - ............................................... 7. 1. Editer ce programme sur EduPython, puis le faire exécuter afin de vérifier la réponse précédente ..

(2) Intro 2 : Modélisation mathématiques - .................................................... On reprend le contexte de l’exercice précédent On note un la distance, en kilomètres, parcourue par Léo la n-ième semaine. On note vn la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la n-ième semaine.. 3 Pour une semaine n donnée exprimer : (a) un+1 en fonction de un - .............................................. - ............................................... 1 Donner les valeurs de u1 et v1 - ................................................... - .................................................... (b) vn+1 en fonction de vn - .............................................. - ............................................... 2 Donner les valeurs de u2 et v2 - .................................................... Bilan 1 n Pour calculer les termes de la suite (un ), on On dit que la suite est une suite. toujours la même valeur (5 en l’occurrence).. arithmétique de raison 5. n Pour calculer les termes de la suite (vn ), on On dit que la suite est une suite. ajoute. multiplie. toujours la même valeur (1, 10 en l’occurrence).. géométrique de raison 1, 10. Bilan 2. Du point de vue graphique les suites arithmétiques sont caractérisées par une variation absolue constante entre deux termes consécutifs. Par contre, en ce qui concerne les suites géométriques, c’est le taux d’évolution ( ou variation relative ) qui est constante. Dans notre exemple l’écart entre deux points est de plus en plus grand. Entraînement et apprentissage Exercice 3 : ; u4 = · · · · · · ; u5 = · · · · · ·. On considère la suite arithmétique (un )n≥0 de premier terme u0 = 5 et de raison 3.. 2 Déterminer u12 - ................................................... - .................................................... 1 Compléter : u0 = · · · · · · ; u1 · · · · · · ; u2 = · · · · · · ; u3 = · · · · · ·. 2.

(3) Exercice 4 : ; v4 = · · · · · · ; v5 = · · · · · ·. On considère la suite arithmétique (vn )n≥0 de premier terme u0 = 120 et de raison −7.. 2 Déterminer v10 - ................................................... - .................................................... 1 Compléter : v0 = · · · · · · ; v1 · · · · · · ; v2 = · · · · · · ; v3 = · · · · · ·. Exercice 5 : - ................................................... - .................................................... On considère la suite (un ) de terme initial u0 = 42 telle que tout terme s’obtient en ajoutant −4 au terme précédent. 1 Quelle est la nature de la suite ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - .................................................... 3 Calculer les 4 premiers termes de cette suite. - ................................................... - ................................................... - .................................................... 2 Donner la relation entre un+1 et un. Exercice 6 : On considère la suite arithmétique (un ) de terme initial - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u0 = 2 et de raison 3. Donner la relation entre un+1 et un , - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . puis calculer les 4 premiers termes de cette suite. - ......................................................... - .......................................................... Exercice 7 : La vie dans les grandes ville étant plus chère qu’à la campagne, le maire d’une petite ville constate que chaque année la population de sa commune augmente de 62 habitants. En 2019, la population de cette ville était de 845 habitants. On note p0 la population en 2019 et pn la population en (2019 + n).. 2 Quelle est la valeur de p5 ? - ................................................... 3 Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice ? - ................................................... - .................................................... 1 Quelle et la nature de la suite (pn ) ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - .................................................... 3.

(4) Exercice 8 : Une entreprise importe une matière première d’un pays étranger. Elle a importé 1 000 tonnes de produit en janvier de l’année passée. À cause d’événements internes cette quantité diminue de 20 tonnes par mois. On note q1 la quantité importée en janvier, q2 celle importée en février, etc. 1 Quelle et la nature de la suite (qn ) ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - .................................................... 2 Quelle est la valeur de q7 ? - ................................................... 3 Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice ? - ................................................... - .................................................... Exercice 9 : - ................................................... - .................................................... On place un capital de 15 000 à 4% par an avec intérêts simples au premier janvier 2016. Les intérêts sont calculés à partir de la somme placée au départ. Chaque année la somme placée se voit augmentée de cette valeur (4% de 15 000 On note C0 = 15 000 et Cn le capital acquis au premier janvier de l’année (2016 +n).. 3 En déduire la nature de la suite Cn en donnant son terme initial et sa raison. - ................................................... - .................................................... 1 Calculer C1 et C3 . - ................................................... - .................................................... 4 Donner une valeur approchée à l’unité du capital acquis en 2022 - ................................................... - .................................................... 2 Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .. Bilan - Suites arithmétiques Une suite arithmétique et une suite définie par récurrence par le procédé suivant On passe d’un terme à l’autre en ajoutant le même nombre. (Qui bien sur peut être négatif) +R. u0. +R. u1. +R. u2. +R. u3. ······. Plus précisément : On dit qu’une suite (un ) est une suite arithmétique si et seulement si existe un nombre réel R tel que pour tout entier naturel n , on ait : un+1 = un + R . Le nombre R est appelé raison de la suite.. Exercice 10 : ; u4 = · · · · · · ; u5 = · · · · · ·. On considère la suite géométrique (un )n≥0 de premier terme u0 = 2 et de raison 1, 5.. 2 Déterminer u10 - ................................................... - .................................................... 1 Compléter : u0 = · · · · · · ; u1 · · · · · · ; u2 = · · · · · · ; u3 = · · · · · ·. 4.

(5) Exercice 11 : ; v4 = · · · · · · ; v5 = · · · · · ·. On considère la suite géométrique (vn )n≥0 de premier terme u0 = 120 et de raison 0, 75.. 2 Déterminer v10 - ................................................... - .................................................... 1 Compléter : v0 = · · · · · · ; v1 · · · · · · ; v2 = · · · · · · ; v3 = · · · · · ·. Exercice 12 : - ................................................... - .................................................... On considère la suite (un ) de terme initial u0 = 42 tel que tout terme s’obtient en multipliant le terme précédent par 0, 5. 1 Quelle est la nature de la suite ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - .................................................... 3 Calculer les 4 premiers termes de cette suite. - ................................................... - ................................................... - .................................................... 2 Donner la relation entre un+1 et un. Exercice 13 : On considère la suite géométrique (un ) de terme initial - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u0 = 2 et de raison 1.5. Donner la relation entre un+1 et un , - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . puis calculer les 4 premiers termes de cette suite. - ......................................................... - .......................................................... Exercice 14 : On place un capital de 2 000 euros au taux annuel de 3% à intérêts composés . En fait, le capital placé est augmenté de 3% chaque année Contrairement aux intérêts simples les intérêts produisent de l’intérêt On note C0 = 2000 et Cn le capital acquis au bout de n années. 1 Montrer que C1 = 2 060 e - ................................................... - .................................................... Que représente concrètement cette valeur ? - ................................................... - ................................................... - ................................................... 3 Exprimer Cn+1 en fonction de Cn - ................................................... - ................................................... 4 Quelle est la nature de la suite ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - .................................................... 2 Montrer que C2 = 2 121,80.e - ................................................... - .................................................... 5.

(6) Exercice 15 : La population d’une ville, qui était de 30 000 habitants en 2019, diminue de 5% par an depuis. On note p0 la population en 2019 et pn la population en (2019 + n).. 2 Quelle est la valeur de p5 ? - .................................................... 1 Quelle et la nature de la suite (pn ) ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - .................................................... 3 Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice ? - ................................................... - .................................................... Bilan - Suites géométriques Une suite géométrique et une suite définie par récurrence par le procédé suivant On passe d’un terme à l’autre en multipliant par le même nombre. ×Q. ×Q. ×Q. ×Q. u0 u1 u2 u3 ······ (Qui peut être négatif) Plus précisément : On dit qu’une suite (un ) est une suite géométrique si et seulement si existe un nombre réel Q tel que pour tout entier naturel n , on ait : un+1 = un × R . Le nombre Q est appelé raison de la suite.. Exercice 16 : Ci-contre on a représenté une suite (un ). 1 Quelle est la valeur de u0 ? - ................................................... Quelle est la valeur de u6 ? - ................................................... 2 Quelle et la nature de la suite (un ) ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - ................................................... 3 La suite est. p p. Croissante Décroissante. 6.

(7) Exercice 17 : p p p. Ci-contre on a représenté deux suites, l’une par des n et l’autre par des • . L’une de ces deux suites est une suite arithmétique et l’autre est une suite géométrique.. La suite géométrique est croissante La suite géométrique est décroissante. 4 Préciser le premier terme et la raison pour chacune de ces deux suites. 1 La suite arithmétique est représentée :. p p. La suite arithmétique est décroissante. Par les n Par les •. 2 La suite géométrique est représentée :. p p. Par les n Par les •. 3 On peut affirmer que :. p. La suite arithmétique est croissante. Exercice 18 : Ci-contre on a représenté deux suites, l’une par des n et l’autre par des • . L’une de ces deux suites est une suite géométrique et l’autre ne l’est pas . 1 La suite géométrique est représentée :. 2 Préciser le premier terme et la raison pour la suite géométrique. p p. Par les n Par les • Expliquer votre choix . - ................................................... - ................................................... - .................................................... Exercice 19 : Le but de cet exercice est de comparer l’évolution de la population de deux quartiers d’une même ville : le quartier Uranus et le quartier Saturne. En 2010, Uranus compte 2 000 habitants et Saturne en compte 2 700. On fait l’hypothèse que, chaque année, la population d’Uranus augmente de 250 habitants et celle de Saturne augmente de 4 %. On note u0 la population d’Uranus en 2020, u1 sa population en 2021 et plus généralement un sa population en l’an 2020 + n. De même, on note s0 la population de Saturne en 2020, s1 sa population en 2021 et plus généralement sn sa population en l’an 2020 + n.. On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - ................................................... 3 Afin de prévoir l’évolution de la population de ces deux quartiers, on a réalisé ci-contre une feuille de calcul. (Les valeurs ont été arrondies à l’unité) (a) Indiquer la formule saisie en C3 qui, recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes consécutifs de la suite (sn ) dans la colonne C. (b) Compléter les colonnes B et C. (c) D’après cette feuille de calcul, en quelle année la population d’Uranus dépassera-t-elle pour la première fois celle de Saturne ? - .............................................. - ............................................... 1 Quelle est la nature de la suite (un ) ? On précisera le premier terme et la raison - ................................................... - ................................................... 2 Quelle est la nature de la suite (sn ). 4 Représenter ci-contre les suites (un ) et (sn ).. 7.

(8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. A n 0 1 2 3 4 5 6 7 8. B un 2 000 2 250 2 500 2 750 3 000. C sn 2 700 2 808 2 920 3 037 3 159. Exercice 20 : On souhaite emprunter 6000 e à notre agence bancaire . Notre conseiller nous propose deux formules. ¬ . 1. sualités sur 12 mois puis représenter graphiquement la situation. La première mensualité est de 400 e , et chaque mois la mensualité diminue de 10 e par rapport au mois précédent. La première mensualité est de 600 e et chaque mois la mensualité diminue de 10 % par rapport au mois précédent.. 2. Etablir un programme python qui donne le premier mois à partir duquel le remboursement mensuel de la deuxième formule sera inférieur au remboursement mensuel de la première formule. 3 Au bout de combien de mois aura-ton remboursé le prêt pour chacune des formules ?. A l’aide d’un tableur étudier l’évolution des men-. 8.

(9) Exercice 21 : On considère les suites : p (un ) définie par u0 = 100 et un+1 = un − 10 p (vn ) définie par v0 = 100 et vn+1 = vn × 0, 7 p (wn ) définie par le tableau ci-contre. On a représenté ces suites ainsi qu’une autre par des nuages de points.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. A n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. B wn 2 4 7 12 18 28 44 66 86 101. C. 1 Associer chaque suite à sa représentation graphique. - ................................................... - ................................................... 2 Pour chaque représentation dire si la suite est croissante ou décroissante. - ................................................... - ................................................... 3 D’après les définition de un , vn et wn , quelles suites sont géométriques ?. Exercice 22 : Un employeur donne le choix à un salarié à temps partiel entre deux modes de rémunération :. 3 Exprimer, pour tout entier naturel n, un et vn en fonction de n.. n proposition A : salaire mensuel brut de 1200 e au premier janvier 2015 puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 15 e du salaire mensuel brut ; n proposition B : salaire mensuel brut de 1000 e au premier janvier 2015, puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 4 % du salaire mensuel brut.. 4 Calculer, pour chacune des deux propositions, le salaire mensuel brut en 2023. Les résultats seront arrondis à l’euro. 5 Une feuille de calcul ( voir ci-dessous) a été élaborée dans le but de calculer le salaire mensuel brut, au premier janvier de chaque année, pour chacune des deux propositions de rémunération.. On se propose d’étudier quelle est la proposition la plus intéressante pour ce salarié. On note, pour tout n ∈ N :. (a) Préciser une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d’obtenir le contenu de la plage C2 : N2.. n un le salaire mensuel brut au premier janvier de l’année (2015 + n) pour la première proposition ; n vn le salaire mensuel brut au premier janvier de l’année (2015 + n)pour la deuxième proposition.. (b) Préciser une formule qui, entrée en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d’obtenir le contenu de la plage C3 : N3.. 1 Calculer u1 , u2 , v1 et v2 .. 6 À partir de quelle année le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B dépasse-t-il celui de la proposition A?. 2 Donner la nature et la raison de chacune des suites (un ) et (vn ).. 1 2 3. A Année un vn. B 2015 1200 1000. C 2016 1215 1040. D 2017. E 2018. F 2019. G 2020. 9. H 2021. I 2022. J 2023. K 2024. L 2025. M 2026. N 2027.

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