Devoir Commun janvier 2015

Devoir Commun

Epreuve du mardi 13 janvier 2015

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MATHÉMATIQUES – Série ES ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 h – Coefficient : 5

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L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).

Le sujet comporte 4 pages, y compris celle-ci. Il est à rendre avec la copie.

Exercice 1 : Grand prix de formule 1. … / 8 Lors d'un grand prix de formule 1, un pilote sort du premier virage et ré-accélère comme indiqué ci-dessous.

On admet que la vitesse (en km/h) de la formule 1 est modélisée, en fonction du temps t en secondes, par une fonction v définie sur l'intervalle [0 ; 5] par : v (t) = at³ + bt² + ct + d où a, b, c et d désignent quatre réels.

On se propose de déterminer le temps de freinage de la formule 1.

1) Mise en équations.

a) Expliquer pourquoi d = 0.

b) Le long de ce parcours, trois radars de vitesse sont déclenchés :

• Le premier, au bout de 1 s, a mesuré une vitesse de 108 km/h.

• Le deuxième, au bout de 3 s, a mesuré une vitesse de 72 km/h.

• Le troisième, au bout de 5 s, a mesuré une vitesse de 180 km/h.

Expliquer pourquoi les réels a, b et c sont solutions du système (S) :

{

2) Résolution du système.

a) Ecrire le système (S) sous la forme matricielle AX = B, où A, B et X sont des matrices à préciser.

b) Utiliser le calcul matriciel et la calculatrice pour déterminer A^-1 puis résoudre l'équation AX = B.

En déduire l'expression de v.

3) Réponse au problème.

a) Voici le début du raisonnement de Coralie :

« Pour trouver le temps de freinage, je dois trouver le maximum et le minimum de la fonction v.

Cela me fait penser à la dérivée. » Poursuivre ce raisonnement et effectuer les calculs nécessaires.

b) Quel est, arrondi au dixième de seconde, le temps de freinage de la formule 1?

Exercice 2 : Lutte contre la déforestation. … / 13 1) Etude d'une suite.

u est la suite définie par u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0,8 un + 3.

a) La colonne A du tableur ci-dessous contient des valeurs de n.

Compléter la colonne B avec les 10 premiers termes de la suite u (arrondir au 10e) puis les représenter graphiquement dans le repère ci-dessous.

b) Conjecturer le sens de variation de la suite u.

c) v est la suite définie sur IN par vn = un – 15.

Démontrer que v est une suite géométrique de raison 0,8. Préciser son premier terme.

d) En déduire l'expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n.

e) Démontrer la conjecture émise au b).

f) Déterminer la limite de la suite u.

2) Une situation concrète.

Info : La déforestation massive que connaissent de nombreux pays a des conséquences désastreuses :

désertification, inondation, augmentation du taux de CO2, espèces animales en danger …

En 2000, un pays comptait environ 100 milliers d'hectares de forêt. On estime que, chaque décennie, 20 % de cette couverture forestière disparaît. Afin de lutter contre ce fléau, chaque décennie, une organisation plante des arbres sur 3 milliers d'hectares.

a) Expliquer pourquoi cette situation peut-être modéliser par la suite u étudiée plus haut.

En déduire les réponses aux questions suivantes.

b) Combien d'hectares y aura-t-il :

• En 2010 ? • En 2020 ? • En 2040 ?

c) L'action de l'organisation est-elle suffisante pour retrouver dans quelques décennies la couverture forestière de 2000 ? Justifie.

d) La couverture forestière de ce pays descendra-t-elle, au bout d'un très grand nombre d'années, en dessous de 10 000 ha ? Justifie.

Exercice 3 : … / 19 Partie A

1. On considère la fonction h définie sur R par : _{h(x)=(- 4x}²_+b)e^-x₊₃

Déterminer le réel b tel que la courbe représentative de h passe par le point A (0 ; 8).

2. Dans ce qui suit on considère la fonction f définie par f (x) = (-4x² + 5) e^-x + 3.

On note f ' la dérivée de la fonction f sur [0 ; 8] et f '' la dérivée de la fonction f ' sur [0 ; 8].

La courbe représentative cf de la fonction f et la courbe représentative Г de la fonction f '' sont données en bas de page.

a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ; 8], f ' (x) = (4x² – 8x – 5) e^-x. b) Factoriser g (x) = 4x² – 8x – 5

c) En déduire le signe de f ' (x) et dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 8].

3. a) Donner l'équation de la tangente (T) à cf au point A (0 ; 8).

b) Tracer sur le graphique la tangente (T).

4. a) Justifier que l'équation f (x) = 3 admet une unique solution x0 dans l'intervalle [0 ; 2].

b) Donner une valeur approchée de x0 à 10^-2 près.

5. a) En utilisant les informations données sur la représentation graphique, déterminer la convexité de la fonction f. Justifier votre réponse.

b) Existe-t-il des points d'inflexion? Si oui, les placer sur la représentation graphique.

Partie B

Une entreprise produit de la peinture chaque jour, en assez grande quantité, mesurée en hectolitres (1 hL = 100 L) et la commercialise. Toute la production est vendue.

Le nombre d'hectolitres produits, noté x, est compris entre 1 et 8, soit entre 100 et 800 litres produits chaque jour. Le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros, est donné par la fonction f de la partie A. Chaque réponse sera justifiée.

1. Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l'euro près, pour une production de 500 litres de peinture.

2. a) Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près?

b) Le prix de vente unitaire de l'hectolitre de peinture est fixé à 100 euros. A l'aide de la question précédente, déterminer si l'entreprise peut ou non réaliser des bénéfices.

c) Si le prix de vente de l'hectolitre est maintenant de 300 euros, l'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice?

Si oui, d'après la question 4.a) de la partie A, quel doit être le nombre minimum d'hectolitres produits ?

c_f

Γ

0,197 3,803

Devoir Commun

Epreuve du mardi 13 janvier 2015

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MATHÉMATIQUES – Série ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l'épreuve : 3 h – Coefficient : 5

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MATHÉMATIQUES – Série L ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 h – Coefficient : 4

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L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).

Le sujet comporte 4 pages, y compris celle-ci. Il est à rendre avec la copie.

Exercice 1 : … / 8 Soit f une fonction définie sur [-3

2 ; 4].

La courbe représentative cf ' de la fonction dérivée f ' est tracée dans un repère orthonormal (O,I,J).

Remarque : Les points A (ln 2 ; 0) et B (0 ; -1) appartiennent à cf '.

1. Donner le sens de variation de f sur son ensemble de définition.

Justifier la réponse.

2. La représentation graphique de f est appelée Г.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à Г au point d'abscisse 0.

3. Dans cette question, on suppose que f (ln2) = 1.

Dire, pour chacune des affirmations suivantes, en justifiant la réponse donnée, si elle est vraie, fausse ou si le texte ne permet pas de répondre.

a) La droite d'équation y = 1 est tangente à Г au point d'abscisse ln2.

b) L'équation f (x) = 0 n'a pas de solution dans l'intervalle _[-3 2 ; 4]. c) La fonction f est concave sur [-3

2 ; 4]. d) Г admet un point d'inflexion en ln2.

cf '

Exercice 2 : Lutte contre la déforestation. … / 13 1) Etude d'une suite.

u est la suite définie par u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0,8 un + 3.

a) La colonne A du tableur ci-dessous contient des valeurs de n.

Compléter la colonne B avec les 10 premiers termes de la suite u (arrondir au 10e) puis les représenter graphiquement dans le repère ci-dessous.

b) Conjecturer le sens de variation de la suite u.

c) v est la suite définie sur IN par vn = un – 15.

Démontrer que v est une suite géométrique de raison 0,8. Préciser son premier terme.

d) En déduire l'expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n.

e) Démontrer la conjecture émise au b).

f) Déterminer la limite de la suite u.

2) Une situation concrète.

Info : La déforestation massive que connaissent de nombreux pays a des conséquences désastreuses :

désertification, inondation, augmentation du taux de CO2, espèces animales en danger …

En 2000, un pays comptait environ 100 milliers d'hectares de forêt. On estime que, chaque décennie, 20 % de cette couverture forestière disparaît. Afin de lutter contre ce fléau, chaque décennie, une organisation plante des arbres sur 3 milliers d'hectares.

a) Expliquer pourquoi cette situation peut-être modéliser par la suite u étudiée plus haut.

En déduire les réponses aux questions suivantes.

b) Combien d'hectares y aura-t-il :

• En 2010 ? • En 2020 ? • En 2040 ?

c) L'action de l'organisation est-elle suffisante pour retrouver dans quelques décennies la couverture forestière de 2000 ? Justifie.

d) La couverture forestière de ce pays descendra-t-elle, au bout d'un très grand nombre d'années, en dessous de 10 000 ha ? Justifie.

Exercice 3 : … / 19 Partie A

1. On considère la fonction h définie sur R par : _{h(x)=(- 4x}²_+b)e^-x₊₃

Déterminer le réel b tel que la courbe représentative de h passe par le point A (0 ; 8).

2. Dans ce qui suit on considère la fonction f définie par f (x) = (-4x² + 5) e^-x + 3.

On note f ' la dérivée de la fonction f sur [0 ; 8] et f '' la dérivée de la fonction f ' sur [0 ; 8].

La courbe représentative cf de la fonction f et la courbe représentative Г de la fonction f '' sont données en bas de page.

a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ; 8], f ' (x) = (4x² – 8x – 5) e^-x. b) Factoriser g (x) = 4x² – 8x – 5

c) En déduire le signe de f ' (x) et dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 8].

3. a) Donner l'équation de la tangente (T) à cf au point A (0 ; 8).

b) Tracer sur le graphique la tangente (T).

4. a) Justifier que l'équation f (x) = 3 admet une unique solution x0 dans l'intervalle [0 ; 2].

b) Donner une valeur approchée de x0 à 10^-2 près.

5. a) En utilisant les informations données sur la représentation graphique, déterminer la convexité de la fonction f. Justifier votre réponse.

b) Existe-t-il des points d'inflexion? Si oui, les placer sur la représentation graphique.

Partie B

Une entreprise produit de la peinture chaque jour, en assez grande quantité, mesurée en hectolitres (1 hL = 100 L) et la commercialise. Toute la production est vendue.

Le nombre d'hectolitres produits, noté x, est compris entre 1 et 8, soit entre 100 et 800 litres produits chaque jour. Le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros, est donné par la fonction f de la partie A. Chaque réponse sera justifiée.

1. Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l'euro près, pour une production de 500 litres de peinture.

2. a) Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près?

b) Le prix de vente unitaire de l'hectolitre de peinture est fixé à 100 euros. A l'aide de la question précédente, déterminer si l'entreprise peut ou non réaliser des bénéfices.

c) Si le prix de vente de l'hectolitre est maintenant de 300 euros, l'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice?

Si oui, d'après la question 4.a) de la partie A, quel doit être le nombre minimum d'hectolitres produits ?

c_f

Γ

0,197 3,803

Correction du Bac Blanc n°1

Exercice 1 (Enseignement de spécialité) : Grand prix de formule 1.

1) Mise en équations.

a) ∀ t ∈ [0 ; 5], v (t) = at³ + bt² + ct + d où a, b, c et d désignent quatre réels.

v (0) = 0 donc d = 0

b) v (1) = 108 donc : 1³a + 1²b + 1c + 0 = 108 donc : a + b + c = 108 v (3) = 72 donc : 3³a + 3²b + 3c + 0 = 72 donc : 27a + 9b + 3c = 72 v (5) = 180 donc : 5³a + 5²b + 5c + 0 = 180 donc : 125a + 25b + 5c = 180 Donc a, b et c sont solutions du système (S) :

{

2) Résolution du système.

a) (S) :

{

(

)

(

)

(

)

b) A l'aide de la calculatrice on obtient : A^{- 1}=

(

)

⁽

⁾

On en déduit : ∀ t ∈ [0 ; 5], v (t) = 12t³ – 90t² + 186t.

3) Réponse au problème.

a) Pour trouver le temps de freinage, je dois trouver le maximum et le minimum de la fonction v.

Cela me fait penser à la dérivée. v est dérivable sur [0 ; 5] en tant que fonction polynôme.

∀ t ∈ [0 ; 5], v ' (t) = 12 × 3 t² – 90 × 2 t + 186 = 36t² – 180 t + 186

Je considère le trinôme du 2^nd degré 36t² – 180 t + 186 et je calcule son discriminant : On pose : a = 36 b = -180 c = 186

∆ = b² – 4ac = (-180)² – 4 × 36 × 186 = 32 400 – 26 784 = 5 616 > 0 Le trinôme admet deux racines distinctes :

t₁=-b−^√Δ

2a =180−

√

72 =180−12

√

72 =15−

√

6 ≈1,46 t₂=-b+^√Δ

2a =180+

√

72 =180+12

√

72 =15+

√

6 ≈3,54 a = 36 > 0. Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.

On en déduit le tableau de variation suivant :

t 0 t1 t2 5

v ' (t) + – +

v (t)

Le temps de freinage de la formule 1 correspond à la différence entre t1 et t2. b) t₂−t₁=15+

√

6 −15−

√

6 =15+

√

√

6 =2

√

6 =

√

3 ≈2,1 s Le temps de freinage de la formule 1 est d'environ 2,1 s.

O O

Exercice 2 : Lutte contre la déforestation.

1) a) u est la suite définie par u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0,8 un + 3.

b) La suite u semble être décroissante.

c) v est la suite définie sur IN par vn = un – 15.

∀ n ∈ IN, on a :

▪ d'une part : vn + 1 = un + 1 – 15 = 0,8 un + 3 – 15 = 0,8 un – 12.

▪ d'autre part : 0,8 vn = 0,8 (un – 15) = 0,8 un – 0,8 × 15 = 0,8 un – 12 Donc : vn + 1 = 0,8 vn.

On en déduit que la suite v est une suite géométrique de raison q = 0,8.

Son premier terme est v0 = u0 – 15 = 100 – 15 = 85 d) ∀ n ∈ IN, on a : vn = v0 × qⁿ = 85 × 0,8ⁿ.

On en déduit : un = vn + 15 = 85 × 0,8ⁿ + 15.

e) Pour démontrer que la suite u est décroissant sur IN, il faut démontrer : ∀ n ∈ IN, un + 1 – un < 0.

∀ n ∈ IN, un + 1 – un = 85 × 0,8^{n + 1} + 15 – (85 × 0,8ⁿ + 15) un + 1 – un = 85 × 0,8^{n + 1} + 15 – 85 × 0,8ⁿ – 15 un + 1 – un = 85 × 0,8^{n + 1} – 85 × 0,8ⁿ

un + 1 – un = 85 × 0,8ⁿ × 0,8 – 85 × 0,8ⁿ × 1 un + 1 – un = 85 × 0,8ⁿ × (0,8 – 1)

un + 1 – un = -0,2 × 85 × 0,8ⁿ un + 1 – un = -17 × 0,8ⁿ < 0 La suite u est donc bien décroissante sur IN.

f) ∀ n ∈ IN, un = 85 × 0,8ⁿ + 15.

0 < 0,8 < 1 Donc lim

n→+∞0,8ⁿ=0 Donc : lim

n→+∞85×0,8ⁿ=85×0=0

Donc : lim

n→+∞85×0,8ⁿ+15=0+15=15

Donc : lim_n→+∞u_n=15

2) Une situation concrète.

En 2000, un pays comptait environ 100 milliers d'hectares de forêt. On estime que, chaque décennie, 20 % de cette couverture forestière disparaît. Afin de lutter contre ce fléau, chaque décennie, une organisation plante des arbres sur 3 milliers d'hectares.

a) On associe la couverture forestière de ce pays en l'an 2000 à u0.

On compte en décennies, la couverture forestière en l'an 2000 + 10n est associée à un.

Si 20 % de la couverture forestière disparaît la décennie suivante, il restera 80 % de un, soit 0,8 un. Puisqu'une organisation replante des arbres sur 3 milliers d'hectares, un+1 = 0,8 un + 3.

b) Puisqu'on compte en décennies et en milliers d'hectares :

◦ La couverture forestière en l'année 2010 correspond à u1 = 83 000 ha

◦ La couverture forestière en l'année 2020 correspond à u2 = 69 400 ha

◦ La couverture forestière en l'année 2040 correspond à u4 = 49 800 ha

c) Puisque la suite u est décroissante sur IN alors la couverture forestière de ce pays diminue d'une décennie à l'autre. L'action de l'organisation n'est donc pas suffisante pour que le pays retrouve un jour la couverture forestière qu'il avait en l'an 2000.

d) Puisque la limite de la suite u vaut 15 alors la couverture forestière de ce pays diminuera jusqu'à se rapprocher de 15 000 ha. Elle ne descendra pas en dessous de 10 000 ha.

Exercice 3 : Partie A

1. ∀x∈ℝ,h(x)=(- 4x²+b)e^-x+3

Si la courbe représentative de h passe par le point A (0 ; 8) alors h (0) = 8.

^{(- 4×0}

2+b)e⁰+3=8 b×1+3=8 b=8−3=5

2. a) ∀x∈[0 ; 8], f (x)=(- 4x²+5)e^-x+3=u(x)v(x)+3 avec

{

{

∀x∈[0 ; 8], f '(x)=u'(x)v(x)+u(x)v '(x)

f '(x)=- 8x e^-x−(- 4x²+5)e^-x=(4x²−8x−5)e^-x

b) On calcule le discriminant ∆ du trinôme 4x² – 8x – 5. On pose a = 4, b = -8 et c = -5 ∆ = b² – 4ac = (-8)² – 4 × 4 × (-5) = 64 + 80 = 144 > 0

Le trinôme admet donc deux racines distinctes : x₁=-b−^√Δ

2a =8−

√

8 =8−12 8 =- 4

8 =- 1

2 et x₂=-b+^√Δ

2a =8+

√

8 =8+12 8 =20

8 =5 2 Donc 4x²−8x−5=4(x+1

2)(x−5 2)

c) ∀x∈[0 ; 8], f '(x)=(4x²−8x−5)e^-x=4(x+1

2)(x−5

2)e^-x -1

2∉[0 ; 8] On en déduit le tableau suivant :

x 0 ⁵

2 8 4(x+1

2) + +

x−5

2 – +

e^-x + +

f ' (x) – +

f (x)

3. a) f '(0)=(4×0²−8×0−5)e⁰=- 5 et f(0)=8

La tangente (T) à cf au point A (0 ; 8) a pour équation : y = f ' (a)(x – a) + f (a) avec a = 0.

y = f ' (0)(x – 0) + f (0) y = -5 x + 8

b) Si x = 1 alors y = -5 + 8 = 3.

La tangente (T) passe par le point A (0 ; 8) et par le point B (1 ; 3).

4. a) La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 2]. f (0) = 8 et f (2) = -11e^-2 + 3 ≈ 1,51.

Or : 3 ∈ [1,51 ; 8].

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f (x) = 3 admet une unique solution x0 dans [0 ; 2].

b) Avec la calculatrice, on trouve x0 ≈ 1,12.

5. a) La courbe représentative Г de la fonction f '' coupe l'axe des abscisses en 0,197 et en 3,803.

Graphiquement, on a :

x 0 0,197 3,803 8

f '' (x) – + –

f (x) concave convexe concave

b) D'après le tableau précédent, la dérivée seconde s'annule et change de signe en 0,197 et en 3,803.

La courbe représentative de f admet donc deux points d'inflexion I1 et I2. O

O

O O

Partie B

Une entreprise produit de la peinture chaque jour, en assez grande quantité, mesurée en hectolitres (1 hL = 100 L) et la commercialise. Toute la production est vendue.

Le nombre d'hectolitres produits, noté x, est compris entre 1 et 8, soit entre 100 et 800 litres produits chaque jour. Le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros, est donné par la fonction f de la partie A. Chaque réponse sera justifiée.

1. f (5)=(- 4×5²+5)e^-5+3=- 95e^-5+3≈2,36

Le coût moyen unitaire de production pour une production de 500 litres de peinture est d'environ 236 €.

2. a) D'après le tableau de variation de f le coût moyen unitaire de production est minimal pour x=5 2=2,5.

Pour minimiser le coût moyen unitaire de production, l'entreprise doit donc produire 2,5 hL de peinture.

f (5

2)=(- 4×(5

2)²+5)e^-

5

2+3=(- 4×25 4 +5)e^-

5

2+3=(- 25+5)e^-

5

2+3=- 20e^-

5

2+3≈1,36 Donc, le coût de production minimal est d'environ 136 € pour 250 litres de peinture.

b) Puisque le coût minimal de production (≈136 €) dépasse 100 €, l'entreprise ne pourra pas réaliser de bénéfice en vendant l'hectolitre de peinture à 100 €. Elle y perdra de l'argent.

c) Le coût minimal de production est inférieur à 300 € donc l'entreprise peut réaliser un bénéfice en vendant l'hectolitre de peinture à 300 €. Pour réaliser un bénéfice il faut que le coût de production f (x) soit inférieur à 3. D'après le résultat de la question 4a) en partie A l'équation f (x) = 3 a pour solution x0 ≈ 1,12.

De plus, graphiquement, pour tout réel x ≥ 1,12 on a f (x) < 3. Ainsi, l'entreprise réalisera un bénéfice si elle produit et vent au moins 1,12 hL de peinture.

c_f

Γ

0,197 3,803

(T)

A

×

B

×

I₁

×

I₂

×

Exercice 1 (Enseignement obligatoire) : Soit f une fonction définie sur [-3

2 ; 4].

La courbe représentative cf ' de la fonction dérivée f ' est tracée dans un repère orthonormal (O,I,J).

Remarque : Les points A (ln 2 ; 0) et B (0 ; -1) appartiennent à cf '.

1. A (ln 2 ; 0)

La fonction f ' est négative sur [-3

2 ; ln2] puis positive sur [ln2 ; 4].

On en déduit le tableau de variation suivant :

x -3

2 ln 2 4

f ' (x) – +

f (x)

2. La représentation graphique de f est appelée Г.

B (0 ; -1). On en déduit f ' (0) = -1.

Le coefficient directeur de la tangente à Г au point d'abscisse 0 est donc -1.

3. Dans cette question, on suppose que f (ln2) = 1.

a) f ' (ln2) = 0 et f (ln2) = 1.

La tangente à Г au point d'abscisse ln2 a pour équation : y = f ' (ln2)( x – ln2) + f (ln2)

y = 0( x – ln2) + 1 y = 1

Donc l'affirmation est vraie.

b) D'après le tableau de variation précédent, la fonction f est strictement décroissante sur [-3

2 ; ln2].

f est continue et on sait que f (ln2) = 1. Donc, pour tout réel x de [-3

2 ; ln2], f ₍x_)≥1.

Donc l'équation f (x) = 0 n'admet aucune solution sur [-3

2 ; ln2].

De plus, la fonction f est strictement croissante sur [ln2 ; 4] . Donc, pour tout réel x de [ln2 ; 4], f ₍x_)≥1.

Donc l'équation f (x) = 0 n'admet aucune solution sur [ln2 ; 4].

Finalement, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solution dans l'intervalle _[-3

2 ; 4]. L'affirmation est vraie.

c) Graphiquement, f ' est strictement croissante sur [-3

2 ; 4] donc f '' est positive sur [-3 2 ; 4]. On en déduit que f est convexe sur _[-3

2 ; 4]. L'affirmation est fausse.

d) Si Г admettait un point d'inflexion en ln2 alors f '' s'annulerait et changerait de signe en ln2.

Par conséquent, f ' changerait de sens de variation et admettrait un extremum en ln2. Ce n'est pas le cas.

Donc l'affirmation est fausse.

cf '

O