4 suites géométriques

4.1 suite des termes 4.1.1 activités

activité 0 : (suite logique)

1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase (a) 0,5; 1; 2; 4 ; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

(b) 128; 64; 32; 16; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

(c) 2; 1,8; 1,62; ...; ... pour passer d’un terme à l’autre, on ...

2. on dit que ces suites sont de natures... car, pour passer d’un terme à l’autre, on :...

3. la suite suivante est-elle géométrique ? (justifier) : 1; 2; 6; 12; 36; ...

activité 2 : (noms des termes, rangs des termes, ordinaux des termes et formule explicite pour calculer un terme quelconque)

1. soit une suite géométrique notée « u » ou « (u_n) » de raison notée « q = 3 » où le ^✞_✝1^er terme est noté u₀ ^☎_✆avec u₀= 10

(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :

10

^{b b b b b b b b b b b b}

1er

^{b b b b b b b b b b b b}

u

^{0 b b b b b b b b b b b b}

b b b b b b b b b b b b

...^e terme = u₁=...

...^e terme = u2=...

...^e terme = u3=...

...^e terme = u₁₀₀=...

...^e terme = un=...

(b) remarque :

si le premier terme s’appelle u₀ et la raisonq alors on a la formule explicite pour calculer directement un en fonction de u0 etq :

u_n=...

(c) soit u une suite géométrique de 1^er terme u₀ = 20 et de raison q = 1,5 calculer le 20^e terme et donner son nom : 20^e terme = u... =...

2. soit une suite arithmétique notée «u » ou « (un) » de raison notée « q= 0,8 » où le ^✞_✝1^er terme est noté u₁ ^☎_✆avec u₁= 1000

(a) compléter ci dessous en détaillant les calculs :

1000

^{b b b b b b b b b b b b}

1er

^{b b b b b b b b b b b b}

u

1 ^{b b b b b b b b b b b b}

b b b b b b b b b b b b

...^e terme = u₂=...

...^e terme = u₃=...

...^e terme = u₄=...

...^e terme = u₁₀₀=...

...^e terme = u_n=...

(b) remarque :

si le premier terme s’appelle u₁ et la raisonr alors on a la formule explicite pour calculer directement un en fonction de u₁ etq :

un=...

(c) soit u une suite géométrique de 1^er terme u₁ = 20000 et de raison q= 0,7 calculer le 30^e terme et donner son nom : 30^e terme = u_...=...

activité 0 bis : (suite logique)

1. déterminer au moins deux termes suivants de la suite logique et compléter la phrase (a) 0,5; 1; 2; 4; ...; ... pour passer d’une terme à l’autre, on ...

(b) 128; 64; 32; 16; ...; ... pour passer d’une terme à l’autre, on multiplie ...

(c) 2; 1,8; ; 1,62; 1,458 pour passer d’une terme à l’autre, on ...

2. on dit que ces suites sont de nature... car, pour passer d’une terme à l’autre, on : ...

3. la suite suivante est-elle géométrique ? : 1; 2; 6; 12; 36; ...

activité 1 bis : (terme quelconque)

1. soit une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 10 (a) calculer le 2^e le 3^e et le 4^e terme

2^e terme = ...

3^e terme = ...

5^e terme = ...

(b) calculer le 10^e terme : 10^e terme = ...

(c) combien de fois multiplier par 10 pour obtenir le 100^e terme ? : ...

(d) combien de fois multiplier par10pour obtenir len^eterme oùn >1est un entier naturel ? : ...

(e) que remarque t-on ?

2. soit une suite géométrique de 1^er terme 1000 et de raison 0,2 calculer le 20^e terme : 20^e terme = ...

activité 2 bis : (noms des termes)

1. soit une suite géométrique notée « u » ou « (u_n) » et de raison notée « q = 1,1 » où le 1^er terme est noté u0= 100

(a) comment est noté le 2^e? le 3^e? le 10^e terme ? 2^e terme = ...

3^e terme = ...

10^e terme = ...

(b) quel est le rang de u_n? : ...

(c) exprimer chacun des termes précédents en fonction deu₀ et q 2^e terme = ...

3^e terme = ...

10^e terme = ...

(d) que remarque t-on ? :

2. soit une suite géométrique notée « u » ou « (un) » et de raison notée « q = 1,1 » où le 1^er terme est noté u₁ = 10

(a) comment est noté le 2^e? le 3^e? le 10^e terme ? (b) quel est le rang de un?

(c) exprimer chacun des termes précédents en fonction deu₁ et q (d) que remarque t-on ?

activité 4 : Comparaison de suites

Votre travail consiste à choisir entre deux locaux à louer en fonction des contrats fixés par les loueurs, ceci afin de minimiser le coût de location pour le locataire pour une durée maximale de deux ans.

Deux tarifs sont au choix :

Tarif 1 : 600 e le premier mois puis augmentation du loyer de 2% par mois Tarif 2 : 1200 e le premier mois puis baisse du loyer de 5% par mois

1. On pose u₀ = 600 et on considère la suite u des montants des loyers pour le tarif 1 (a) préciser et justifier la nature de la suite u, donner son premier terme et sa raison (b) donner la formule de récurrence de u_n+1 en fonction de un

(c) calculer u₁, u₂, u₃ et u₁₀ et interpréter la valeur de u₁₀ (d) donner la formule explicite de un en fonction de n

(e) résoudre l’inéquation u_n≥800 et interpréter le résultat (f) calculer S₁₁=u₀+u₁+...+u₁₁ et interpréter le résultat

2. On pose v₀ = 1200 et on considère la suite v des montants des loyers pour le tarif 2 (a) préciser et justifier la nature de la suite v, donner son premier terme et sa raison (b) donner la formule de récurrence de v_n+1 en fonction de vn

(c) calculer v₁, v₂, v₃ et v₁₀ et interpréter la valeur de v₁₀ (d) donner la formule explicite de v_n en fonction de n

(e) résoudre l’inéquation vn≤600 et interpréter le résultat (f) calculer S₁₁^′ =v0+v1+...+v11 et interpréter le résultat

3. pour quelle durée la mensualité est-elle la même pour les deux loyers ? 4. quel tarif (1 ou 2 ) conseiller à une entreprise qui a besoin d’un local

(a) pour 12 mois ? (b) pour 24 mois ?

5. représenter graphiquement les deux suites dans le repère ci dessous et retrouver graphi-quement (tracés apparents) les résultats des questions 1.e. 2.e. et 3 ci dessus

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

b b b b b

bc bc bc bc bc

n 6. à partir de quelle durée, le tarif 2 devient-il plus avantageux que le 1 ? (méthode libre)

( aide : exprimer Sn=u₀+...+un et S_n^′ =v₀+...+vn

en fonction de n et comparer Sn et S_n^′ )

4.1.2 corrigés activités

corrigé activité 4 : Comparaison de suites

1. On pose u₀ = 600 et on considère la suite u des montants des loyers pour le tarif 1 (a) la suite u est de nature ^✞_✝géométrique^☎_✆

car ^✞_✝pour passer d’un terme à l’autre on multiplie toujours le même nombre^☎_✆

☛

624,24✆(par récurrence) ou

u₂= 600×1,02² = ^✞

✝

☎

624,24✆(par calcul explicite) u₃= 624,24×1,02 = ^✞

✝

☎

636,7248✆(par récurrence) ou

u₃= 600×1,02³ = ^✞

✝

☎

636,7248 ✆(par calcul explicite) u10= 600×1,02¹⁰≃ ^✞_✝731,4^☎_✆(par calcul explicite)

ce qui signifie que Dans 10 mois le loyer du tarif 1 sera d’environs 731,4 e (d) formule explicite de u_n en fonction de n, ^✞_✝u_n= 600×1,02^n☎_✆ Dans environs 14,5 mois, le loyer sera d’au moins 800 e✆ (f) S₁₁=u₀+u₁+...+u₁₁= un total de 8047,25 e sont payés en loyers pour les 12 premiers mois✆

2. On pose v₀ = 1200 et on considère la suite u des montants des loyers pour le tarif 1 (a) la suite v est de nature ^✞_✝géométrique^☎_✆

car ^✞_✝pour passer d’un terme à l’autre on multiplie toujours le même nombre^☎_✆

☛

(b) formule de récurrence de ^✞

✝

1028,85✆(par récurrence) ou

v3 = 1200×0,95³ = ^✞

✝

☎

1028,85✆(par calcul explicite) v₁₀= 1200×0,95¹⁰≃ ^✞_✝718,48^☎_✆(par calcul explicite)

ce qui signifie que Dans 10 mois le loyer du tarif 2 sera d’environs 718,48 e (d) formule explicite de vn en fonction de n, ^✞_✝vn= 1200×0,95^{n ☎}_✆ Dans environs 13,5 mois, le loyer sera d’au moins 600 e✆ (f) S₁₁=v₀+v₁+...+v₁₁= un total de 11031.35 e sont payés en loyers pour les 12 premiers mois✆ 3. pour quelle durée la mensualité est-elle la même pour les deux loyers ? :

1200×0,95ⁿ= 600×1,02ⁿ

donc après environs 9,75 mois, les mensualités sont égales

4. quel tarif (1 ou 2 ) conseiller à une entreprise qui a besoin d’un local (a) pour 12 mois : ^✞_✝tarif 1 car 8047,25< 11031,35^☎_✆

(b) pour 24 mois ? ^✞_✝tarif 2 car 18253,11 > 16992,26^☎_✆

5. représenter graphiquement les deux suites dans le repère ci dessous et retrouver graphi-quement (tracés apparents) les résultats des questions 1.e. 2.e. et 3 ci dessus

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

n 6. à partir de quelle durée, le tarif 2 devient-il plus avantageux que le 1 ? (méthode libre)

Sn=u0+...+un= 600×1−1.02ⁿ⁺¹ 1−1.02 S_n^′ =v₀+...+v_n= 1200× 1−0.95ⁿ⁺¹

1−0.95

On utilise le tableau de valeurs de la calculatrice

n 20 21

S_n 15470 16379

S_n^′ 15827 16235

comparaison de S_n et S_n^′ S_n< S_n^′ S_n> S_n^′

C’est donc ^✞_✝à partir d’une durée de 21 + 1 = 22 mois^☎_✆

de location que le tarif 2 devient plus avantageux que le tarif 1

4.1.3 à retenir

définition 5 : (suite géométrique)

quelle que soit la suite u de nombres réels :

u est une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀

⇐⇒ quel que soit n∈N :

f ormule de r´ecurrence

remarque :

le quotient entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est constant et reste égal à un nombre noté q et appelé raison de la suite

on dit aussi que pour passer d’un terme à un autre, on multiplie toujours par le même nombre appelé raison de la suite

exemples :

i. 4; 8; 16; 32; 64; ...

est une suite géométrique de raison 2 et de 1^er terme 4 car on passe d’un terme au suivant en multipliant par 2

ii. 50; 25; 12,5; 6,25;...

est une suite géométrique de raison 0,5 et de 1^er terme50 car on passe d’un terme au suivant en multipliant par 0,5

propriété 3 : (formule explicite en fonction de n)

quelle que soit la suite notée u ou (un) de nombres réels :

4.1.4 exercices exercice 12 :

voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une certaine filière de BEP dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)

0 200 400 600

0 1 2 3 4 5 6 7 8

b b b b b

bc bc bc bc bc

n ef f ectif s

demandes

of f res 621

559 503

453 407

116 127 140 154 169

soient d_n et p_n deux suites approchant les nombres respectifs de demandes et de places l’année 2000 +n où n est un nombre entier

1. justifier pourquoi les suites (dn) et (pn) semblent constituer des suites géométriques et donner pour chacune le 1^er terme et la raison à 0,1 près

2. donner les valeurs de d₆ et p₆ puis d₇ et p₇

3. donner les "formules de récurrence" d_n+1 en fonction de d_n ainsi que p_n+1 en fonction de p_n

4. calculer d₁₀ et p₁₀

5. donner les "formules explicites" de d_n et p_n en fonction de n

6. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle la demande devrait atteindre 10 7. déterminer par calcul l’année à partir de laquelle l’offre devrait atteindre 300 8. résoudre l’inéquation : d_n< p_n et en déduire l’année où la demande sera satisfaite

(vérifier graphiquement) exercice 13 :

en 2006, une personne place un capital C0 = 1000 euros à t = 3% d’intérêts composés annuels

cette personne ne touche plus à son compte par la suite

( « intérêts composés » signifie que : chaque année, les intérêts sont de t% du capital précédent )

soit C_n le montant du compte l’année 2006 +n 1. calculer C₁, C₂, C₃ et C₁₀

2. exprimer C_n+1 en fonction de Cn et préciser la nature le 1er terme et la raison de la suite (C_n)

3. exprimer Cn en fonction de n

4. déterminer l’année à partir de laquelle le capital aura doublé

5. calculer le capital à placer pour avoir 2000 euros après10 ans avec t= 3%

6. calculer le taux t pour avoir 2000 euros en 10 ans avec un capital initial de 1000 euros.

exercice 14 :

un bateau remorqueur est en train de ramener un iceberg de 1000 tonnes du pôle sud et cet iceberg fond en perdant 2% de sa masse par heure en moyenne

on note un la masse de l’iceberg dans n heures ( n est un nombre entier )

1. préciser la nature de la suite numérique(u_n), son premier terme u₀ et sa raison 2. déterminer la masse de l’iceberg après 10h puis 3 jours puis une semaine. (u_...=...) 3. exprimer la masse de l’iceberg dansn heures en fonction de n (un=...)

4. dans combien de temps la masse de l’iceberg passera t-elle sous les 600 tonnes ? ( conclusion en jours et heures à 1 heure prés )

exercice 15 :

à un péage autoroutier, un caissier a déjà enregistré le passage de 300 véhicules et a remarqué que le nombre total de véhicules enregistrés augmentait de 5% par heure en moyenne

on note v_n le nombre moyen de véhicules enregistrés par le caissier dans n heures 1. préciser la nature de la suite numérique(vn), son premier terme v₀ et sa raison 2. déterminer le nombre de véhicules enregistrés par le caissier dans5 heures. (v...=...) 3. exprimer le nombre de véhicules enregistrés dans n heures en fonction de n (vn=...) 4. dans combien de temps le nombre de véhicules enregistrés dépassera t-il2000? (

conclu-sion en heures et minutes à 1 minute près ) exercice 16 :

la population d’une ville a cette année un effectif de 10000 habitants, et il est prévu un accroissement annuel relatif de la population de 4% par an

1. déterminer l’effectif de la population de la ville dans 1 an, dans 10 ans.

2. exprimer l’effectif de la population dans n années, noté Pn

3. déterminer le nombre d’années pour que la population dépasse 30000 habitants.

4. que devrait être l’accroissement annuel de la population pour que l’effectif de 30000 soit atteint dans 16 années.

5. une autre ville (Ville B ) avec un accroissement relatif annuel de 10% atteindra les 30000 habitants dans 10 années, quel est alors l’effectif de la ville B aujourd’hui ? exercice 17 :

MonsieurX vient d’obtenir un prêt en s’engageant à en rembourser70 euros ce mois puis 5% de plus le mois prochain et ainsi de suite.

on note u_n la somme mensualité remboursée dans n mois ( n entier )

1. Préciser la nature de la suite (un) ainsi que son premier terme u0 et sa raison 2. déterminer la mensualité remboursée dans 2 ans. (u...=...)

3. exprimer la mensualité remboursée dans n mois en fonction de n(un=...)

4. déterminer le nombre de mois à attendre pour que la mensualité dépasse les120 euros 5. déterminer la somme totale remboursée en un an.

voici un graphique « corrigé » d’évolution des demandes et des places disponibles pour une certaine filière de BTS dans un département. ( la 1ère année est l’année 2001)

0 200 400 600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc

n ef f ectif s

demandes

of f res

soient dn et pn deux suites approchant les nombres respectifs de demandes et de places l’année 2000 +n où n est un nombre entier

Le nombre de places est de 100 en 2001 et augmente de 5% par an Le nombre de demandes est de 600 en 2001 et diminue de 5% par an

1. en quelle année le nombre de demandes passe t-il sous les 400 ? (a) graphiquement : ...

(b) numériquement :

n d_n=

comparaison à ...

(c) algébriquement : ( voir cahier)

2. en quelle année le nombre de places passe t-il au dessus des 200 ? (a) graphiquement : ...

(b) numériquement :

n p_n=

comparaison à ...

(c) algébriquement : ( voir cahier)

3. en quelle année le nombre de places dépasse t-il celui de demandes ? (a) graphiquement : ...

(b) numériquement :

n dn= pn= comparaison de ...

(c) algébriquement : ( voir cahier)

4.2 somme des termes

4.2.1 activité : somme des premiers termes

1. soit u, une suite géométrique de 1^er terme u₀ et de raison q

on cherche la valeur de la somme desnpremiers termes :S =u0+u0q+u0q²+u0q³+...+u0qⁿ⁻¹ observez la succession de déductions suivantes :

S =u₀+u₀q+u₀q²+u₀q³+...+u₀qⁿ⁻¹

2. utiliser le résultat obtenu ci dessus pour calculer les sommes suivantes (a) S= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512

S=...

(b) S= 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 S=...

4.2.2 à retenir

propriété 4 : (formule de la somme)

quelle que soit la suite notée u ou (u_n) de nombres réels : S est la somme des n+ 1 premiers termes

si u est géométrique de 1^er terme noté ^✄_✂u_{1 ✁} S est la somme des n premiers termes

exemples :

4.2.3 exercices exercice 18 :

calculer astucieusement la somme suivante en justifiant votre méthode 1. S = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560

2. S = 1600 + 800 + 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 exercice 19 :

1. une personne rembourse un prêt selon les modalités suivantes : 50 euros la première mensualité

les mensualités augmentent de4% chaque mois soit un le montant de la n^i`eme mensualité

(a) calculer la somme des mensualités pour les 12 premiers mois (b) calculer la somme des mensualités pour les 3 premières années 2. une personne rembourse un prêt selon les modalités suivantes :

500 euros la première mensualité

les mensualités baissent de 4% chaque mois soit un le montant de la n^i`eme mensualité

(a) calculer la somme des mensualités pour les 12 premiers mois (b) calculer la somme des mensualités pour les 3 premières années exercice 20 :

Un sportif s’entraîne 10 mn à la première séance puis 10% de plus à chaque séance.

soit un la durée d’entraînement dans n séances 1. donner les valeurs de u₀, u₁, u₂ et u₂₉

2. calculer la durée totale S₂₉=u₀+u₁+. . . +u₂₉ pour les 30 premières séances exercice 21 :

une personne décide de d’arrêter de fumer

Ce mois ci elle a dépensé 430 euros en tabac, chaque mois, elle diminue sa dépense en tabac de 5%

Soit vn la dépense en tabac le n^i`eme mois avec v₁= 430 1. donner les valeurs de v₂ et v₃.

2. calculer la somme totale dépensée pour les 5 prochaines années ( 60 mois)

4.2.5 Q.C.M. suites géométriques avec somme des termes

Il n’y a q’une seule bonne réponse pour chaque question, trouvez la et justifiez par un calcul

Questions Réponses

1. Quelle suite est géométrique ? 10 12 14,4 17,28 ...

10 8 6,4 5,1 ...

10 15 22,5 33,75 ...

2.

La suite u est géométrique, u₀ = 10et q= 1,1

La suite u est géométrique, u₁ = 10et q= 1,1

La suite u est géométrique, u₀ = 5 et q = 10

La suite u est géométrique, u₁ = 5 et q = 10

La suite u est géométrique,

de premier terme 4 et de raison 3 quelle est la formule de récurrence de u_n+1 en fonction de un?

u_n+1=un+ 3 u_n+1= 4un

u_n+1= 3u_n

8.

La suite u est géométrique, u₀ = 50et q= 1,1

à partir de quelle valeur de n a t-on u_n>100?

n≥7 n≥8 n >8

9.

La suite u est géométrique, u₀ = 1000 et r= 0,9

à partir de quelle valeur de n a t-on un<100?

n≥21 n >21 n >22 10.

La suite u est géométrique, u₁ = 5 et q= 1,2

La suite u est géométrique, u₀ = 100 et q = 0,8

que vaut S=u₀+u₁+...+u₃₀?

≃499,38 ≃499,5 ≃499,6

4.2.6 corrigé Q.C.M. suites géométriques avec somme des termes

Il n’y a q’une seule bonne réponse pour chaque question, trouvez la et justifiez par un calcul

Questions Réponses 1. Quelle suite est géométrique ? ✓❒ 10 15 22,5 33,75 ...

❒ car on multiplie toujours par 1,5 pour passer d’un terme à l’autre

2.

La suite u est géométrique, u₀ = 10et q= 1,1

La suite u est géométrique, u1 = 100 et q= 1,1

La suite u est géométrique, u0 = 5 et q = 10

La suite u est géométrique, u₁ = 5 et q = 10

La suite u est géométrique,

de premier terme 4 et de raison 3 formule de récurrence ?

✓❒ u_n+1 = 3un

❒ car un+1 =un×q=un×3

8.

La suite u est géométrique, u0 = 50et q= 1,1

à partir de quelle valeur de n a t-on un>100?

La suite u est géométrique, u₀ = 1000 et q= 0,9

à partir de quelle valeur de n a t-on u_n<100?

La suite u est géométrique, u1 = 5 et q= 1,2

La suite u est géométrique, u0 = 100 et q = 0,8

✓❒ S = 1^er×1−raison^{nb termes} 1−raison

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