Zig écrit les termes successifs des suites polygonales S(a)(1) pour a = 3,4,5,...jusqu’à 20. Ce faisant, il constate qu’avec quatre suites polygonales S(a),S(a+1),S(a+2) et S(a+3) :
.toute puissance à exposant entier pair > 0 de 2 est obtenue par différence de deux termes de l’une d’elles,
.toute puissance à exposant entier > 0 de 5 est obtenue par différence de deux termes dans une seconde,
.toute puissance à exposant entier > 0 de 6 est obtenue par différence de deux termes dans une troisième,
.toute puissance à exposant entier > 0 de 7 est obtenue par différence de deux termes dans la dernière.
Déterminez les valeurs possibles de a et justifiez votre réponse.
Si nous notons S(a, n) le n-ième nombre a-gonal, S(a,n)= ((a-2)n2/2-(a-4)n/2 S(a,n+1)-S(a,n)=((a/2-1)(2n+1)-(a/2-2))=(a-2)n+1
Pour a=3, tout nombre supérieur ou égal à 2 (donc toutes les puissances des nombres étudiés) est différence de deux nombres triangulaires consécutifs.
Pour a≥4, les différences entre deux nombres a-gonaux consécutifs sont égales à tous les nombres congrus à 1 modulo a-2 : sont congrues à 1 les puissances de 4 modulo 3 (a=5), les puissances de 5 modulo 2 et 4 (a=4 ou 6), les puissances de 6 modulo 5 (a=7), et les puissances de 7 modulo 2, 3 et 6 (a=4, 5 ou 8)
Ce qui donne trois possibilités (en donnant les nombres dont les puissances apparaissent dans les suites pour a, a+1, a+2 et a+3)
a=3 : 6, 7, 4, 5 a=4 : 7, 4, 5, 6 a=5 : 4, 5, 6, 7
