Enoncé D291 (Diophante) A la croisée des chemins
Zig part du sommetA1d’un polygone régulierA1A2A3. . . A2n de 2ncôtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A1A3, puis la diagonale A3An, puis le côtéAnAn−1, puis la diagonaleAn−1A2 qui croise la diagonale A3An au point P, puis la diagonale A2A2n−2 qui croise la diagonale A1A3 au pointQ. Démontrer que le triangleQOP est isocèle de sommetQ.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin J’étudie la projection de Qsur le segmentOP.
Les cordes A1An+1 (diamètre du cercle circonscrit), A2An, A3An−1 sont parallèles et ont une même médiatrice, qui est axe de la symétrie transfor- mant A3An en A2An−1; ainsi P appartient à cette médiatrice et l’angle
6 P OA1 est droit. Le sommetA1 se projette en O sur OP.
Chaque côté du polygone est vu de O sous l’angle π/n = 2ξ, et d’un autre sommet du polygone sous l’angle ξ. En particulier 6 A2A1A3 = ξ,
6 A2n−2A2A1 = 3ξ,6 A2n−2QA1 = 4ξ,
6 QA1O=6 A3A1An+1 = (n−2)ξ=π/2−2ξ, de sinus cos(2ξ).
Je prends pour unité de longueur le rayon du cercle circonscrit. La distance deA1 à A2A2n−2 est A1A2sin(3ξ) =A1Qsin(4ξ).
CommeA1A2 = 2 sinξ, la distance de Qà A1O est A1Qcos(2ξ) = 2 sinξsin(3ξ) cos(2ξ)
sin(4ξ) = sin(3ξ) 2 cosξ.
La longueurOP s’évalue dans le triangleP OA2 d’angles π/2−2ξ enO et
6 P A2O=6 An−1A2An+2= 3ξ en A2, doncπ/2−ξ en P.
La distance deO à P A2 est sin(3ξ) =OP sin(π/2−ξ) =OP cosξ.
AinsiOP = sin(3ξ)/cosξest le double de la projection deOQsurOP, ce qui placeQ sur la médiatrice deOP; d’où QO=QP, CQFD.
