D291– A la croisée des chemins [**** à la main]
Zig part du sommet A₁ d'un polygone régulier A₁A₂A₃...A2n de 2n côtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A₁A₃, puis la diagonale A₃An, puis la diagonale AnAn-1, puis la diagonale An-1A₂ qui croise la
diagonale A₃An au point P, puis la diagonale A₂A2n-2 qui croise la diagonale A₁A₃ au point Q.
Démontrer que le triangle QOP est isocèle.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Solution analytique.
Soient Ai les sommets du polygone, l’angle au centre ( /n) d’où sont vus chacun des côtés du polygone. On prend le repère orthonormé avec comme origine le centre du cercle O, le diamètre A1-An+1 comme axe des X . Les coordonnées de chaque point du polygone sont alors :
X=-cos((i − 1).α)) , Y=sin((i − 1).α))
Les diagonales A₃.An et A₂.An-1 sont symétriques par rapport à l’axe des Y et se croisent donc en P sur celui-ci.
Pour montrer que le triangle OPQ est isocèle il suffit de montrer que l’ordonnée de Q est la moitié de l’ordonnée de P.
La diagonale A₂An-1 est inclinée de α/2 par rapport à l’axe des X, donc son équation est : (y − sin(α)) = tg(α/2).(x + cos(α)). On a donc YP = sin(α) + tg(α/2).cos(α).
La diagonale A1.A₃ est inclinée d’un angle α par rapport à l’axe des y, son équation est donc x=tg(α).y − 1 La diagonale A₂.A2n-2 est, elle, inclinée d’un angle – α par rapport à l’axe des y, son équation est donc (y − sin(α)) = − cotg(α).(x + cos(α)).
En reportant l’équation de la première droite on obtient y − sin(α) = − y + cotg(α).(1 − cos(α)) et l’ordonnée de Q est donc YQ = 1/2.(sin(α) + cotg(α).(1− cos(α)). Le dernier terme de cette expression cotg(α).(1 − cos(α)) peut encore s’écrire : cos(α).2sin²( α/2)/(2sin(α/2).cos(α/2)) c’est-à-dire cos(α).tg(α/2).
On a donc bien YQ=1/2. YQ.
CQFD
