D291 A la croisée des chemins Solution proposée par Pierre Renfer

D291 A la croisée des chemins

Solution proposée par Pierre Renfer

On choisit comme unité de longueur le rayon du cercle circonscrit au polygone.

On note : ^{u e in}





On choisit le repère orthonormé tel que le sommet A_k ait pour affixe u^k, pour 1k2n

1) Affixes des points P et Q

Soient p et q les affixes des points P et Q.

L’inversion f, de pôle P, qui conserve le cercle , a pour puissance pp1.

Si elle transforme un point d’affixe z en un point d’affixe z’, la définition analytique s’écrit :

p z

1 p p p '

z 



 

 , c’est-à-dire : zpz'pz'z1 (1)

L’inversion f échange A_n-1 et A₂ d’une part, A_n et A₃ d’autre part.

Avec













 ^

2

1 1

n-

u z'

u u

z l’égalité (1) s’écrit : upu²p1u³

Avec















3 n

u z'

1 u

z l’égalité (1) s’écrit : pu³p1u³

En résolvant le système de ces deux équations, on trouve :

1 u

1 p u³



 

L’inversion g, de pôle Q, qui conserve le cercle , a pour puissance qq1.

Si elle transforme un point d’affixe z en un point d’affixe z’, la définition analytique s’écrit :

q z

1 q q q '

z 



 

 , c’est-à-dire : zqz'qz'z1 (2)

L’inversion g échange A_2n-2 et A₂ d’une part, A₃ et A₁ d’autre part.

Avec











 ^

2

2 1 - n

u z'

u u

z l’égalité (2) s’écrit : u²qu²q1u⁴

Avec







 u z'

u z ³

l’égalité (2) s’écrit : u^3quq1u^2

En résolvant le système de ces deux équations, on trouve : _{3 1}

2 5

u u

1 u u

q u _







 

2) Conclusion q q QO²  

q q p q q p p p ) q p ( ) q p (

QP²            

L’égalité QOQP équivaut à : pppqqp (E)

b p a et

d

q c, où a, b, c, d sont les numérateurs et dénominateurs calculés plus haut.

L’égalité (E) équivaut à : aaddabcdabcd (E’)

Il reste à calculer les deux membres de (E’) :

7 7 4 4

3 3

1 2u 2u 2u 2u u u

u u 4 d d a

a      ^   ^   ^   ^

7 6 6 4 3 2 2

1 u u 2u 2u u u u

u 2 d c b

a     ^   ^     ^ 

7 6 6 4 3

2 2

1 u u 2u 2u u u u

u 2 d c b

a      ^   ^  ^  ^   ^

7 7 4 4

3 3

1 2u 2u 2u 2u u u

u u 4 d c b a d c b

a          ^   ^   ^   ^ L’égalité (E’) est bien vraie.