D1866 Axes en croix
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
1) Coordonnés des points P, P', Q, Q', R, R'
Soient ( , ,) les coordonnées du point M, avec 1
Les points de la parallèle en M à (BC) ont pour première coordonnée , si la somme des coordonnées est égale à 1;
On en déduit les coordonnées de P et P', puis de façon analogue celles de Q, Q', R, R' :
0 P
0 '
P
0
Q
0 '
Q
0
R
0 ' R
2) Equation de l'axe radical des cercles (PQR) et (P'Q'R')
Un cercle a une équation du type : a2yzb2zxc2xy(xyz)(uxvywz)0
On obtient les constantes u, v, w, pour le cercle (PQR), en écrivant que l'équation est vérifiée par les coordonnées des trois points :
) ( b w u ) (
) ( a w ) ( v
) ( c v ) ( u
2 2 2
On résout le système à l'aide des formules de Cramer
Le déterminant principal D du système est : D()()()
2 2
2
2 2
2
2 2
2
b ) ( ) ( a ) ( c ) ( w D
a ) ( ) ( c ) ( b ) ( v D
c ) ( ) ( b ) ( a ) ( u D
On obtient les constantes u', v', w', pour le cercle (P'Q'R'), en écrivant que l'équation est vérifiée par les coordonnées des trois points :
) ( a ' w ' v ) (
) ( c ' v ' u ) (
) ( b ' w ) ( ' u
2 2
2
Le déterminant principal du système est le même que pour le système précédent.
) ( ) ( b a
) ( c ) ( ' w D
) ( ) ( a c
) ( b ) ( ' v D
) ( ) ( c b
) ( a ) ( ' u D
2 2
2
2 2
2
2 2
2
On obtient l'équation de l'axe radical des deux cercles par différence membre à membre des équations des cercles :
0 z ) ' w w ( D y ) ' v v ( D x ) ' u u (
D
3) Conclusion
On obtient l'équation du lieu cherché en écrivant que l'équation de l'axe radical est vérifiée par les coordonnées ( , ,) de M :
(b2c2)(c2a2)(a2b2)
0
Le lieu de M est donc la réunion de quatre droites : les trois droites portant les trois côtés du triangle et la droite d'équation : (b2c2)(c2a2)(a2b2)0
On remarque que l'équation de est vérifiée par les coordonnées (1, 1, 1) du centre de gravité G et par les coordonnées (a2 ,b2 ,c2) du point de Lemoine L du triangle ABC.
Donc : (GL)
Le point G, point de rencontre des médianes, est constructible à la règle et au compas.
Le point L, point de rencontre des symédianes, est constructible à la règle et au compas.
