Calcul de la distance GH L’orthocentre H a pour coordonnées

(1)

D1996 La saga de l’angle de 60° (quatorzième épisode) Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).

On note a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.

1) Calcul de la distance entre deux points

Soient P et Q deux points dont les coordonnées, de somme 1, sont :

1 1 1

z y x

P

2 2 2

z y x Q

Pour calculer la distance MN, on écrit :











AP y₁ ABz₁AC et











AQ y₂ ABz₂ AC











PQ y ABzAC avec :













1 2

z z z

y y y

yz ) c b a ( 2 z b y c A cos bc yz 2 z b y c AC AB yz 2 z b y c

PQ²  ² ² ² ²  ^^^^ ² ²  ² ²    ² ²  ² ²   ² ² ²  2) Calcul de la distance GH

L’orthocentre H a pour coordonnées :

) c b (a ) c b a (

) c b a ( ) c b (a

) c b (a ) c b (a H

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2































La somme S de ces coordonnées est :

) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a (

a c 2 c b 2 b a 2 c b a

S ⁴ ⁴ ⁴ ² ² ² ² ² ²





























Les coordonnées de G de même somme S sont :

3 / S

3 / S G

Par différence des coordonnées de H et G, on obtient avec les notations de 1) :







































) b a 2 b c a c b a c 2 ( 2 z S 3

) a c 2 a b c b a c b 2 ( 2 y S 3

) c b 2 c a b a c b a 2 ( 2 x S 3

2 2 2 2 2 2 4 4 4

(2)

La formule de 1) donne :

S E 9

GH²  4 où : Ea⁶ b⁶ c⁶ 3a²b²c² a⁴b² a⁴c²b⁴c² b⁴a²c⁴a² c⁴b²

3) Coordonnées des points M et N

L’équation du cercle circonscrit est : a²yzb²zxc²xy 0 L’équation de la médiane (AG) est : y z

Donc les coordonnées de M vérifient :









 z y

0 x ) c b ( y

a² ² ²

On en déduit les coordonnées de M :

2 2

2

c b

a M





L’équation de la hauteur (AH) est : (a²b² c²)y(a² b² c²)y

Donc le point à l’infini  de (AH) a pour coordonnées :

2 2 2

2

c b a

a 2











Les points M, N et  sont alignés. Donc l’équation de la droite (MN) est :

z ) c 3 b a ( a y ) c b 3 a ( a x ) b c ( 2 0 c b a c b z

c b a c b y

a 2 a

x

2 2 2 2 2

2 2 2 4

4 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2























On en déduit les coordonnées du milieu I de [MN] :

2 2 2

c b 3 a

c 3 b a 0 I









Comme la somme des coordonnées de I est le double de celles des coordonnées de M, on obtient facilement les coordonnées de N par différences de celles de I et de M :

2 2

2 2 2

b 2 a

c 2 a a N









(3)

4) Calcul de la distance GN

La somme S’ des coordonnées de N est : S'a² 2b² 2c²

Les coordonnées de G de même somme S’ sont :

3 / S'

3 / S' G

Par différence des coordonnées de N et G, on obtient avec les notations de 1) :







































) c b 2 a ( 2 z ' S 3

) c 2 b a ( 2 y ' S 3

) c b a 2 ( 2 x ' S 3

2 2 2

La formule de 1) donne :

' S

F 9

GN²  4 où : Fa⁴b⁴c⁴ a²b² b²c²c²a²

5) Conclusion

L’égalité GHGN équivaut à : ES'FS0

Or : ES'FS3( bc)²( bc)²( a² b²c² bc)( a² b² c² bc) On peut donc généraliser l’énoncé pour un triangle quelconque :

L’égalité GHGN a lieu si et seulement si le triangle est isocèle en A ou si l’angle en A vaut 60° ou si l’angle en A vaut 120°.