D 1872 Le triangle de Maurice d'Ocagne

(1)

D 1872 Le triangle de Maurice d'Ocagne Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).

On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].

Question 1

a) Coordonnées des points A', B', C'

Les coordonnées des points A et D, de même somme a², sont :

2 / ) c b a (

2 / ) c b a ( 0 D

2 2 2







0 0 a A

2

Le point A' est le barycentre de (D,2) et de (A,1).

On obtient les coordonnées de A' en ajoutant à celles de A les doubles de celles de D et par permutation circulaire sur les coordonnées et sur a, b, c, on trouve les coordonnées de B' et C' :

2 2 2

2 2 2 2

c b a

c b a a ' A







2 2 2 2

2 2 2

c b a b

c b a ' B







2

2 2 2

c

c b a

c b a '

C   





b) Similitude des triangles ABC et A'B'C'

On multiplie par c² les coordonnées de B' et par b² celles de C' pour que les deux points aient tous deux 3b²c² comme somme des coordonnées.

On note (,,) les nouvelles coordonnées de B' et (',',') celles de C'.

Alors :























































AC ' AB ' ' AC c b 3

AC AB

' AB c b 3

2 2

et











   

B'C' y AB z AC c

b

3 ² ² , avec





























 ' z

' y

' x

Donc : 9b⁴c⁴B'C'²c²y² b²z²2bccosAyzc²y²b²z² (a²b² c²)yz

(2)

On trouve : ₂ ₂

2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 6 6 6 2

c b 9

c b a 3 b c a c a b c b c a b a c b ' a

C '

B          

Donc :

abc 3

c b a 3 b c a c a b c b c a b a c b a BC

' C '

B ⁶ ⁶  ⁶  ⁴ ²  ⁴ ² ⁴ ² ⁴ ² ⁴ ²  ⁴ ²  ² ² ²



On en déduit les rapports CA

' A ' C et

AB ' B '

A par permutation circulaire sur a, b, c.

Mais comme le rapport BC

' C '

B est une fonction symétrique de a, b, c, les trois rapports sont égaux.

Les triangles ABC et A'B'C' sont donc semblables.

Question 2

L'équation de la droite (B'C') est : ux vy wz 0

c c

b a z

c b a b

y

c b a c

b a x

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2





















Alors le point à l'infini de (B'C') a pour coordonnées :

) a c ( c 3 u v

) b a ( b 3 w u

) c b a ( ) c b ( 3 v w

2 2 2

2 2 2 2

2































L'involution canonique  transforme le point à l'infini d'une direction de droites en le point à l'infini de la direction orthogonale.

Sa définition analytique est donnée par :

y ) c b a ( x ) c b a ( z'

x ) c b a ( z ) c b a ( y'

z ) c b a ( y ) c b a ( x' z y x

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2















































Les coordonnées de () sont :

) c b b a c a 2 b 2 c a ( c

) c b c a b a 2 c 2 b a ( b

c b a 2 c b c b c a b a c a 2 b a 2 c b ) (

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2

2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 4 2 4 2 6 6































La droite orthogonale à (B'C'), passant par A, est la droite (A()). Son équation est :

(3)

0 z ) c b c a b a 2 c 2 b a ( b y ) c b b a c a 2 b 2 c a (

c²  ⁴ ⁴  ⁴  ² ²  ² ² ² ²   ²  ⁴  ⁴  ⁴ ² ² ² ² ² ²  

Par permutation circulaire sur les coordonnées et sur a, b, c, on en déduit les équations de la droite orthogonale à (C'A'), passant par B et de la droite orthogonale à (A'B'), passant par C :

0 x ) a c a b c b 2 a 2 c b ( c z ) a c c b a b 2 c 2 a b (

a²  ⁴ ⁴  ⁴  ² ²  ² ² ² ²   ²  ⁴ ⁴  ⁴  ² ²  ² ²  ² ²  

Les trois droites sont concourantes car le déterminant du système des trois équations est nul.

0 y ) b a b c a c 2 b 2 a c ( a x ) b a a c b c 2 a 2 b c (

b²  ⁴ ⁴  ⁴ ² ²  ² ² ² ²   ²  ⁴ ⁴ ⁴ ² ² ² ² ² ²  