D1976 Une curieuse propriété
Solution proposée par Pierre Renfer
Il s'agit de montrer que les angles orientés de droites (PM , PZ) et (QM , QZ) sont opposés.
Cela revient à montrer que si Q' désigne le symétrique de Q par rapport à la droite (MN), alors les angles (PM , PZ) et (Q'M , Q'Z) sont égaux, c'est-à dire que les points M, Z, P et Q' sont cocycliques.
Soit le cercle de départ et ' le deuxième cercle (NXZ).
On choisit le rayon du cercle comme unité de longueur.
On choisit le repère orthonormé d'origine le centre de tel que les points fixes du problème aient les affixes complexes suivantes :
X : 1 Y : -1 M : e N : i e i Z : cos
1) Une caractérisation du cercle '
L'angle (NZ , NX) inscrit dans le cercle ' est aussi l'angle (NM , NX) inscrit dans le cercle . Or ce dernier angle est de mesure
2
.
Le cercle ' est donc le lieu des points P tels que l'angle (PZ , PM) soit de mesure 2
.
2) Une homographie de la droite projective complexe
Soit f l'inversion, de pôleY, laissant le cercle ' globalement invariant.
Elle échange les points P et Q et échange les points X et Z.
Comme les droites (YN) et (NX) sont perpendiculaires, la doite (YN) est tangente en N à ' . Donc l'inversion f laisse N fixe, ainsi que M à même distance du pôle.
Soit s la symétrie par rapport à la droite (MN).
Alors la composée gsf est une homographie de la droite complexe (composée de deux antihomographies).
Pour trouver son expression analytique, il suffit de connaître les images de trois points.
Comme g envoie Y sur le point à l'infini, l'expression analytique a pour forme :
1 z
b ' az
z
Comme g(X)Zet g(M)M, les coefficienst a et b vérifient le système :
i
i i
1 e e
b e a
2 cos b a
On trouve :
1 b
cos 1 a
Le point P, d'affixe z, est transformé par g en le point Q', d'affixe
1 z
1 z ) cos 1 ' (
z
3) Cocyclicité des points M, Z, P et Q'
Les points M, Z, P et Q' sont cocycliques (ou alignés) si et seulement si est réel leur birapport r :
z'-cos e ' : z cos - z
e r z
i i
1 z
e e z
cos2 1 2
z
) e 1 ( z ) e 1 e (
1 z
1 z ) cos 1 e (
' z
i i2
i i i
i
1 z
1 ) z cos 1 1 (
z
) e 1 ( z ) e 1 cos ( 1
z
1 z ) cos 1 cos ( ' z
i i
Donc :
cos z
1 e z
cos2 2
cos
r 1 i2
Donc le birapport r est réel si et seulement si l'angle (PZ , PM) est de mesure 2
.
Les points M, Z, P et Q' sont cocycliques (ou alignés) si et seulement le point P appartient à .
