Le triangle de Maurice d’Ocagne
Soit le triangle ABC, et D,E, F les pieds des hauteurs issues de A, B, C.
On prend surAD le pointA0 tel quek= DA0 DA = 1
3, et les points ´equivalents B0 etC0 surBE et CF.
Q1/A0B0C0 est inversement semblable `aABC. Quel est le rapport BC B0C0 ? Q2/ Les perpendiculaires men´ees deA`aB0C0, de B `aA0C0 et deC `aA0B0 sont concourantes.
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Les triangles ABC et A0B0C0 sont en orthologie (les perpendiculaires aux cˆot´es de ABC men´ees par A0, B0, C0 sont concourantes enH). La relation est sym´etrique, donc les perpendiculaires aux cˆot´es deA0B0C0 men´ees par A, B,C sont concourantes en H0 (on montrera plus loin queH0est sut Γ).
La parall`ele `aBCmen´ee parA0et les parall`eles ´equivalentes parB0etC0sont concourantes au barycentreG deABC. Comme les angles HA\0G,HB\0Get HC\0Gsont droits (par construction), le cercleΓ0 circonscrit `aA0B0C0a HG comme diam`etre.
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C\0A0B0=π−A\0GC0 =BAC\ A\0B0C0=CBA\
B\0C0A0=ACB\
⇒ les triangles ABC et A0B0C0 sont indirectement semblables. Et la
similitude s’´etend aux pentagonesA0B0C0GHetABCG0H0(G0etH0diam´etralement oppos´es surΓ).
Enfin, le rapport de similitude est le rapport des rayons deΓet Γ0: s= D
3R (D=OH,Rrayon deΓ).
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