D1960 - UNE RICHE CONFIGURATION Solution proposée par Pierre Renfer

D1960 - UNE RICHE CONFIGURATION Solution proposée par Pierre Renfer

On donne 3 points A , B , C sur un cercle (O). Les tangentes à ce cercle en A , B , C forment un triangle A'B'C'. On sait que les droites AA' , BB' , CC' ont un point commun K.

Le cercle (KBC) recoupe les côtés AB et AC en respectivement Ba et Ca et recoupe les tangentes en B et C en respectivement A'b et A'c.

De même le cercle (KCA) recoupe BC et BA en Cb et Ab et recoupe les tangentes en C et A en B'c et B'a.

Enfin le cercle (KAB) recoupe CA et CB en Ac et Bc et recoupe les tangentes en A et B en C'a et C'b.

1) Montrer que les 6 points Ab,Ac,Bc,Ba,Ca,Cb sont cocycliques et que BaCa = CbAb = AcBc.

2) Montrer que les 6 points A'b,A'c,B'c,B'a,C'a,C'b sont cocycliques et que B'aC'a = C'bA'b = A'cB'c.

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

Soient a,b,c les longueurs des côtés BC, CA, AB.

1) Coordonnées de A', B', C' et K

On connaît l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC : a²yzb²zxc²xy 0 Par rapport à ce cercle, la polaire du point de coordonnées (x',y',z') a pour équation :

0 ) y ' x x ' y ( c ) x ' z z ' x ( b ) z ' y y ' z (

a²   ²   ²  

Pour (x,'y,'z')(1,0,0), la polaire est la tangente en A au cercle et a pour équation : b²zc²y 0 Par permutation circulaire, la tangente en B au cercle a pour équation : c²xa²z0

Les coordonnées du point C' vérifie les équations de ces deux tangentes.

On en déduit ses coordonnées puis celles de A' et B', par permutation circulaire :

2 2 2

c b a - '

A

2 2 2

c - b a '

B

2 2 2

c - b a ' C

La droite (AA') a pour équation : c y b z 0 c

0 z

b 0 y

a 1 x

2 2 2

2 2











Par permutation circulaire, on obtient les équations de (BB') et (CC') : (BB') : a²zc²x0 et (CC') : b²xa²y0

On en déduit les coordonnées du point K vérifiant les trois équations :

2 2 2

c b a K

On reconnaît un personnage célèbre : K est le point de Lemoine du triangle ABC.

2) Coordonnées des autres points

L'équation d'un cercle est de la forme : a²yzb²zxc²xy(xyz)(uxvy wz)0 (uxvywz0 est l'équation de l'axe radical du cercle  et du cercle circonscrit à ABC)

Pour obtenir l'équation du cercle (KBC), on cherche les valeurs de u,v,w pour que les coordonnées des points B,C,K soient solutions.

On trouve : vw0 et _{2 2 2}

2 2

c b a

c b u 3

 



L'équation du cercle (KBC) est donc : (a²b² c²)(a²yzb²zxc²xy)3b²c²x(xyz)0 En utilisant les équations des droites (AB), (AC), (A'B'), (A'C'), on trouve les coordonnées des points d'intersection B , _a C , _a A , '_b A . '_c

Puis, par permutation circulaire, on obtient les coordonnées des autres points :

0 3b

b 2 c a

B ²

2 2 2

a





2

2 2 2 b

3c

c 2 a b 0

C  

2 2 2

2

c

a 2 b c 0 3a A





2

2 2 2

a

3c 0

c 2 b a C





0

a 2 c b 3a

A ^{2 2 2}

2

b  

2 2 2

2 c

b 2 a c 3b 0 B





2

2 2 2

2

b

3c

c 2 b 4a

3a - '

A  

2 2 2

2 2

c

a 2 c 4b

3b - 3a ' B





2 2

2 2 2

a

c 3 - 3b

2b - a 4c ' C



2 2 2 2 2

c

b 2 c 4a

b 3

3a - ' A





2 2

2 2 2

a

3c 3b -

2c - a 4b ' B



2

2 2 2 2

b

c 3 -

a 2 b 4c 3a '

C  

3) Cocyclicités

On cherche des coefficients u,v,w pour que les coordonnées des points A_b, A_c, B , _c B , _a C , _a C _c vérifient l'équation de cercle a²yzb²zxc²xy(xyz)(uxvywz)0

On trouve une équation que les coordonnées des six points vérifient bien :

0 ) z ) c 2 b a ( b a ( y ) b 2 a c ( a c x ) a 2 c b ( c b ( ) z y x ( 3

) xy c zx b yz a ( ) c b a (

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2



































On cherche maintenant u,v,w pour que les coordonnées des points A , '_b A , '_c B'_c, B'_a, C'_a, C'_c vérifient l'équation de cercle a²yzb²zxc²xy(xyz)(uxvywz)0

On trouve une équation que les coordonnées des six points vérifient bien : 0 ) z y x ( c b a 9 ) xy c zx b yz a ( ) c b a

( ² ²  ^{2 2 2}  ²  ²  ^{2 2 2}   ² 

On constate que l'axe radical de ce dernier cercle et du cercle (ABC) est la droite de l'infini.

Le dernier cercle a donc le même centre que le cercle circonscrit au triangle ABC.

4) Egalités de longueur

Soient M et M' deux points de coordonnées (,,) et (,',''), avec '''1

Alors : ^AM^^AB^^AC^ et ^AM^''^AB^'^AC^











 'y ABzAC

MM , avec y' et z'

) a c b ( yz b z c y

 cos yzbc 2 b z c y

AC AB yz 2 b z c y AC z AB y AC z AB y ' MM

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2





































   













   

 ^{     }

(1)

Les douze points A_b, A_c, B , _c B , _a C , _a C , _c A , '_b A , '_c B'_c, B'_a, C'_a, C'_c ont tous une somme des coordonnées égale à a²b² c².

Donc la formule (1) donne : (a² b²c²)²B_aC_a² 9b⁴c²9c⁴b²9b²c²(b²c² a²)9a²b²c² Ainsi : _{a a 2 2 2}

c b a

abc C 3

B   

Par permutation circulaire, on trouve la même longueur pour C_bA_b et A_cA_c

A l'aide des coordonnées on constate que :



















































c c c

c

b b b

b

a a a

a

B A 2 ' A ' B

A C 2 ' C ' A

C B 2 ' B ' C

Donc : _{a a b b c c 2 2 2}

c b a

abc ' 6

B ' A ' A ' C ' C '

B     