D 1833 La saga des dichotomies (cinquième épisode)
Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note comme d’usage a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.
1) Coordonnées des points
On connaît les coordonnées des pieds des hauteurs et du milieu M de [BC] :
2 2 2
2 2 2
c b a
c b a 0 D
2 2 2
2 2 2
c b a 0
c b a E
0
c b a
c b a
F 2 2 2
2 2 2
1 1 0 M
L’équation de la droite (EF) s’écrit : 0
c b a 0
z
0 c
b a y
c b a c
b a x
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
On trouve : (a2 b2 c2)x(a2 b2c2)y(a2b2c2)z0
Le point P a donc pour coordonnées :
) c b a (
c b a 0 P
2 2 2
2 2 2
Le point , à l’infini sur (EF), vérifie l’équation de (EF) et l’équation xyz0
On en déduit ses coordonnées :
2 2
2 2
c b
c b
La parallèle à (EF), passant par D, contient le point .
Son équation s’écrit donc : 0
c c
b a z
b c
b a y
c b 0
x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
On trouve : (
b2c2)2a2(b2 c2)
x(b2 c2)( a2b2c2)y(b2 c2)( a2 b2 c2)z0On en déduit les coordonnées de Q et R :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
) c b ( ) c b ( a 0
) c b a ( ) c b ( Q
0
) c b ( ) c b ( a
) c b a ( ) b c (
R 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2) Cocyclicité des quatre points P, Q, R, M
Une équation de cercle est du type : a2yzb2zxc2xy(xyz)( uxvywz)0
Il s’agit de prouver l’existence de trois constantes u, v, w telles que l’équation sot satifaite par les coordonnées des quatre points.
On trouve v et w en écrivant que l’équation est satisaite par M et P :
) c b ( 2
) c b (a ) c b (a w a
) c b (a v ) c b (a
2 w a v
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
La résolution du système donne :
) c b ( 4
) c b (a w a
) c b ( 4
) c b (a v a
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
En écrivant que les coordonnées de Q et R vérifient l’équation, on obtient :
) c b (a ) b c (
v E
a u 2 1
) c b (a ) c b (
w E
a u 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
où Ea2(b2c2)(b2 c2)2
Les deux équations donnent la même valeur pour u si l’on remplace v et w par leurs valeurs :
2 2 2
2
2 4(b c )
a E 2a
u E
