D1838. La saga des dichotomies (8-ième épisode)

(1)

Soient un triangle scalène ABC, son cercle circonscrit (Γ) et un point D sur l'arc de cercle (BC) de (Γ) qui ne contient pas A.On prolonge le côté AB d'un segment BE = BD et le côté AC d'un segmenr CF = CD. Le cercle circonscrit au triangle BDE coupe le segment EF en un deuxième point L. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle BCL coupe EF en un point M autre que L qui est le milieu de EF .

Solution proposée par Maurice Bauval :

Soit L' le deuxième point d'intersection des cercles EBD et FCD.

Angle EL'D = ABD , et Angle DL'F = DCA, mais ABD et DCA sont supplémentaires donc la somme des angles EL'D et DL'F vaut 180° . EL'F sont donc alignés. Le point L' est à la fois sur le cercle BDE et sur la droite EF, les points L' et L sont confondus.

(LB,LC) = (LB,LD)+(LD,LC) = (EB,ED)+(FD,FC) égalité d'angles inscrits interceptant le même arc.

(EB,ED) = (BA,BD)/2 et (FD,FC) = (CD,CA)/2 à cause des triangles isocèles EBD et FDC.

D'où (LB,LC) = [(BA,BD)+(CD,CA)] /2 = 90° donc L est sur le cercle de diamètre BC.

Le cercle circonscrit au triangle BCL n'est autre que le cercle de diamètre BC.

Les angles en B et C du quadrilatère BACD sont supplémentaires. Les angles en B et C des triangles isocèles EBD et DCF sont supplémentaires. La composée de la rotation R1 de centre B d'angle EBD et de la rotation R2 de centre C d'angle DCF est une rotation d'angle 180° donc une symétrie point. Elle transforme E en F c'est donc une symétrie par rapport au milieu M de EF.

Soit Δ1 la droite passant par B et telle que ( Δ1,BC) = (BE,BD)/2, et soit Δ2 la droite passant par C et telle que (BC, Δ2) = (CD,CF)/2. On note que Δ1 et Δ2 sont perpendiculaires.

On a R2ôR1 = (Sym Δ2 ôSym BC) ô(Sym BC ôSym Δ1) = Sym Δ2 ôSym Δ1 = Symétrie centre M M est l'intersection des deux droites perpendiculaires Δ1 et Δ2 (non représentées ) donc le milieu M de EF appartient au cercle de diamètre BC que l'énoncé désigne par '' cercle circonscrit au triangle BCL''