D1834. La saga des dichotomies (6ième épisode) ****
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du
triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales.
Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ.
Solution proposée par Jean Nicot
On prolonge, sur son extérieur, le côté BC par BA1=BA et CA2=CA ; A1A2 a donc pour longueur le périmètre 2p du triangle. O milieu de A1A2. AO est une droite PQ particulière dont le milieu α fait partie du lieu recherché. Soit B’ le point de A1A2 tel que BB’=p ; CB’ est reporté en CN sur AC. BN partage en deux le périmètre et son milieu β fait aussi partie du lieu. De façon similaire, on construit CC’=p, puis BC’=BR pour obtenir le milieu de RC.
On remarque que les droites AO, BN et CR sont concourantes, ce que le théorème de J de Céva démontre aisément puisque PO=NA, CN=RB, OC=AR.
Il est commode de considérer les points P’ et Q’ distants de p et situés sur A1A2. Si P’ et/ou Q’ sont sur l’extérieur de BC, on les rabat sur le côté voisin BA ou CA.
Quand P va de A à R, Q va de O à C et M va de α à
P va de R à B, Q va de C à N et M va de àβ P va de B à O, Q va de N à A et M va de βà α
Avec B comme origine et ϕ pour l’angle B, on a les coordonnées B{0, 0} C{0,a) A{ c cos ϕ, c sin ϕ}
Le point O { (a+b-c)/2, 0} et pour le milieu α de AO : α {(a+b-c)/4+ ½c cos ϕ, ½c sin ϕ}
Considérons un point P sur AB distant de d du point A ; alors Q est distant de d du point O.
P{ (c-d)cos ϕ, (c-d)sin ϕ} et Q{ (a+b-c)/2+d, 0} et leur milieu M{½(c-d)cos ϕ +(a+b-c)/4+d/2, ½(c-d)sin ϕ}
La pente de αM est (½c sin ϕ - ½(c-d)sin ϕ) / ((a+b-c)/4+ ½c cos ϕ - ½(c-d)cos ϕ-(a+b-c)/4-d/2)
= ½ d sin ϕ / (-d/2+½d cos ϕ) = sin ϕ/(cos ϕ -1)= -cotg ϕ/2 La pente de AM est indépendante de d donc M est sur α
Comme A,B et C jouent le même rôle, le lieu de M est le triangle α βparcouru deux fois quand P parcourt ABC.
