D1834. La saga des dichotomies (6ième épisode)
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales. Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va baser la discussion sur la suivante propriété, de démonstration immédiate :
si un point se déplace à vitesse constante le long d’une droite et un point se déplace à vitesse constante le long d’une droite , le point-milieu du segment se déplace (lui aussi à vitesse constante) le long d’une droite convenable.
Soit alors (nécessairement sur , d’après la propriété triangulaire) le point tel que partage le périmètre du triangle en deux parties égales ; et soit le milieu de AA’. Avec des notations analogues pour les couples (avec forcément sur ) et (avec forcément sur ) on aura que :
Lorsque le point parcourt le segment le point se déplace en ligne droite de à
Lorsque le point parcourt le segment le point se déplace en ligne droite de à
Lorsque le point parcourt le segment le point se déplace en ligne droite de à
Ensuite les choses se répètent, en renversant les rôles de et de Le lieu cherché est donc le périmètre du triangle (parcouru deux fois)
