D1818 - La saga des dichotomies (quatrième épisode) Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côté BC, CA, AB, comme d'habitude.
1) Coordonnées du point E, milieu de l'arc (AB) contenant C
Soit E le milieu de l'arc du cercle circonscrit, limité par A et B et contenant C.
Soit F le milieu de l'autre arc limité par A et B.
Le point F appartient à la bissectrice intérieure du triangle ABC, issue de C.
Le point E appartient à la perpendiculaire en C à la bissectrice précédente, c'est-à-dire à la bissectrice extérieure, issue de C.
Cette bissectrice extérieure contient aussi le centre J du cercle exinscrit face à A.
Les coordonnées de J sont :
c b
a J
Comme point de la bissectrice extérieure, E a donc des coordonnées du type :
b
a E
La valeur de s'obtient en écrivant que les coordonnées de E vérifient l'équation du cercle . L'équation de est : a2yzb2zxc2xy0
On trouve :
b a
c2
Les coordonnées de E sont donc :
c2
b) - (a b
) b a ( a
E
2) Coordonnées du point D
La polaire en un point de coordonnées (x', y', z') au cercle a pour équation : 0
) ' yx ' xy ( c ) ' xz ' zx ( b ) ' zy ' yz (
a2 2 2
En remplaçant (x', y', z') par (0, 0, 1), on trouve l'équation de la polaire en C qui est la tangente en C : 0
x b y
a2 2
Les coordonnées de D sont donc :
0 b a
D 2
2
3) Calcul des distances DC, DA, DB
Pour calculer la distance entre deux points M et M', on utilise leurs coordonnées (,,) et (',','), de même somme S.
Alors :
CB ' CA ' ' AM S
CB CA
AM
S et
MM' x CA yCB
S , avec
' z
' y
' x
Donc : S2MM'2b2x2 a2y2 2abcosCxyb2x2 a2y2(a2b2 c2)xy Pour les points D, A, B, C, on utilise les coordonnées de somme Sa2 b2. Quitte à échanger A et B, on peut se ramener à l'inégalité : ab
On trouve :
c a DB ) b a (
c b DA ) b a (
abc DC ) b a (
2 2
2
2 2
2 2 2
On vérifie au passage que : DC2 DADB (la puissance de D par rapport au cercle )
4) Coordonnées des points P et Q
Le point Q est le centre du cercle inscrit au triangle DBC.
Le point Q est donc le barycentre des points pondérés (D, BC), (B, DC), (C, DB).
Le point Q est en encore barycentre des points pondérés (D, a2 b2), (B, bc), (C, ac).
On obtient les coordonnées Q par combinaison linéaire des colonnes de coordonnées, de somme 1, des points D, B, C avec les coefficients ci-dessus.
On trouve : ac
b) - (c b a Q
2
Le point P est le centre du cercle exinscrit au triangle DAC, face à D.
Le point P est donc le barycentre des points pondérés (D, -AC), (A, DC), (C, DA).
Le point P est en encore barycentre des points pondérés (D, b2 a2), (A, ac), (C, bc).
On obtient les coordonnées P par combinaison linéaire des colonnes de coordonnées, de somme 1, des points D, A, C avec les coefficients ci-dessus.
On trouve : bc b
) a c ( a
P 2
5) Coordonnées du milieu M de PQ
La somme des coordonnées de P est égale à : (ab)(abc) La somme des coordonnées de Q est égale à : (ab)(abc) Les points P et Q ont donc pour coordonnées de même somme :
) c b a bc
) c b a b
) c b a ) a c ( a
P 2
) c b a ( ac
) c b a ( b) - (c b
) c b a ( a Q
2
On obtient alors les coordonnées de M additionnant les coordonnées de pet q ci-dessus :
w c
v b
u a M
avec :
bc ac ab 2 b a w
bc ac ab 2 c 2b v
bc ac ab 2 c 2a u
2 2
2 2
2 2
6) Conclusion
Il reste à prouver l'alignement des trois points I, E et M par la nullité du déterminant dont les colonnes sont les coordonnées des trois points :
u w c b a
u v ) b (a abc 2
w c 1
v b a 1
u a b 1 abc w
c c
c
v b ) b a ( b b
u a ) a (b a a
2
Or :
) c b a ( ) c b a ( u w
) c b a ( ) b a ( 2 u v
Donc le déterminant est bien nul !
