D1834 ‒ La saga des dichotomies (6ème épisode)
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales. Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ.
Solution proposée par Patrick Gordon
Examinons tout d'abord le cas de P sur AB et Q sur BC.
Notons :
A (u,v) B (0,0) C (a,0) A' (p – c,0)
A' est le point de contact du cercle exinscrit à ABC dans l'angle A.
Les constantes a, b, c, u, v sont reliées par :
c² = u² + v² b² = (u – a)² + v² Posons :
AP = A'Q = t Il en résulte :
P (u(c – t) / c, v(c – t) / c) Q (p – c + t, 0)
M (u(c – t) / 2c + (p – c + t) / 2, v(c – t) / 2c)
Les coordonnées de M étant des fonctions affines d'un même paramètre t, M décrit un segment de droite.
Les extrémités de ce segment correspondent respectivement à :
1) t = 0 (P en A, Q en A')
2) t = A'C = p – b (P en C', Q en C)
C' étant le point de contact du cercle exinscrit à ABC dans l'angle C.
Le lieu de M dans ce premier cas est donc le segment (en vert sur la figure) joignant les milieux des "cordes" AA' et CC' (en rouge sur la figure).
Les autres cas se déduisent de ce dernier pas permutation circulaire.
Ainsi, le lieu de M est formé des trois segments (en vert sur la seconde figure) joignant deux par deux les milieux des "cordes" AA' BB' et CC' (concourantes au point de Nagel, en rouge sur la seconde figure).
Nota : le triangle vert semble homothétique à ABC sur la figure; c'est sans doute dû à ce qu'elle est approximative.
