D1834 ‒ La saga des dichotomies (6ème épisode)
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales. Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Soit le triangle ABC, avec des côtés AB, AC, BC de longueur c,b,a, de périmètre a+b+c égal à 2p., p étant supérieur à la longueur de chacun des côtés a,b,c.
D’un point de vue analytique, prenons A comme l’origine des coordonnées, AB comme axe des x et soit α l’angle entre AB et AC. Les points P et Q sont toujours sur deux côtés adjacents.
Quand ils sont sur les côtés AB et AC respectivement , P se déplace de B jusqu’à une position telle que AP=p-b, le point Q étant alors en C.
Soit u la distance AP, Les coordonnées de P sont (u,0) celles de Q ((p-u).cos(α), (p-u).sin(α)), les coordonnées du milieu M de PQ sont (u.(1-cos(α))+p.cos(α))/2 et (p.sin(α) –u.sin(α))/2.
En éliminant u on trouve que le point M décrit un segment sur la droite de coordonnées y=(p/2 - x).cotg(α/2), soit une droite parallèle à la bissectrice extérieure de l’angle A distante de p.cos(α/2) de A.
Quand les points P et Q sont sur les deux autres couples de côtés (AB, BC) et (AC, BC), le point M parcourt deux autres segments sur des parallèles aux bissectrices extérieures de B et C
respectivement.
Le lieu de M est donc un triangle homothétique au triangle exinscrit de ABC ou au triangle de contact ou de Gergonne.
