D1807 Le square de Pythagore

D1807 Le square de Pythagore

Solution proposée par Pierre Renfer

On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note a, b, c les longueurs des côté BC, CA, AB, comme d'habitude.

Les coordonnées de M et D sont :

1 1 0 M

c b 0 D

L'involution canonique  transforme le point à l'infini d'une direction de droite en le point à l'infini de la direction orthogonale.

Si le point à l'infini  a pour coordonnées (x,y,z), alors le point () a les coordonnées (x',y',z') définies par les formules :



























































y ) c b a ( x ) c b a ( ' z

x ) c b a ( z ) c b a ( ' y

z ) c b a ( y ) c b a ( ' x

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

Le point à l'infini  de la droite (AD) a pour coordonnées : c b

c - b -



Les formules ci-dessus donnent :

c) b (-a c) b (a c -

c) b (-a c) b (a b

c) b (-a c) b (a b) - (c ) (







































 ou

c - b

b - c ()



La droite perpendiculaire à (AD) passant par B est la droite (B,()), d'équation :

z ) c b ( cx 0 c - 0 y

b 1 y

b - c 0 x











On en déduit les coordonnées de E et T :

c b

c - b

E c c

c - b T

Comme les coordonnées de D et ont la même somme b+c que celles de T, on obtient les coordonnées du milieu P' de [DT] en additionnant leurs coordonnées :

2c c b

c - b '

P 

Pour vérifier que P' coïncide avec P, il reste à montrer l'alignement de P, D, M, c'est-à-dire la nullité du déterminant dont les colonnes sont leurs coordonnées :

0 1 c 2c

1 b c b

0 c - b c - b



