D1807 - Le square de Pythagore
Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC) qui honore les grands mathé-maticiens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrilatère MDET, appelé square Pythagore.
M est au milieu du côté BC.
D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.
E est la projection de B sur la bissectrice AD
T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.
La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.
Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.
Solution proposée par Pierre Jullien
Soit E l'origine des axes orthonormés et les points A = [-2*a, 0] , B = [0, -2*b], C = [2*(k-1)*a, 2*k*b] avec a > 0, b > 0 et k > 1.
Alors M = (B+C)/2 = [(k-1)*a, (k-1)*b]
D = (d, 0) où d = 2*a*(yM-yA)/(xM-xA) = 2*a*(k-1) / (k+1) T = (0, t) où t = 2*b*(xM-xB)/(yM-yB) = 2*b*(k-1) /(k+1)
Ainsi EM et TD ont des pentes opposées b/a et – b/a . Ce qui entraine que P est le milieu de TD, dans le triangle rectangle DET.
La simplicité des calculs résulte d'un bon choix des axes et des données.
Géométriquement, il est évident que EM est parallèle à AC (droite des milieux) mais je ne vois pas immédiatement pourquoi TD est parallèle à AB !
