D1807. Le square de Pythagore ***

D1807. Le square de Pythagore ***

Dans cette cité triangulaire ABC (AB < AC ) qui honore les grands mathématiciens de l'Antiquité, les statues de Ménélaüs, de Diophante, d'Euclide et de Thalès sont installées aux sommets d'un quadrilatère MDET, appelé square Pythagore.

M est au milieu du côté BC.

D est le pied de la bissectrice issue de A sur le côté BC.

E est la projection de B sur la bissectrice AD

T est à l'intersection de la médiane AM et de la droite BE.

La statue de Pythagore est à l'intersection des diagonales ME et DT du quadrilatère MDET.

Montrer que Pythagore est à égale distance de Diophante et de Thalès.

Solution proposée par Jean Nicot

Notons B’ l’intersection de AC etBE. Comme BE=EB’ et BM=NC, ME et AC sont parallèles et les angles CAD et MED sont égaux.

Montrons que TD et AC sont parallèles.

En prenant M comme origine et MB comme axe des abscisses, a, b et c étant les longueurs des côtés BC, AC et AB, ,,, les angles en A,B et C, on a les coodonnées

de A{a/2 – c cos, c sin },

de D{a/2-ab/(b+c)=a(c-b)/2(c+b), 0}

et de E{(b-c) cos /2, (b-c) sin /2} comme ME=CB’/2=(b-c)/2 L’équation de (BT) est donc y( (b-c) cos -a)=(x-a/2) (b-c) sin

On a aussi les relations b sin = c sin et b cos  = a -c cos

(BT) y[(b-c)( a -c cos )-a] –x(b- c) c sin = (a/2) (b-c) c sin

L’équation de( MA) est y - x c sin/( a/2 – c cos)=0 La résolution de ces deux équations fournit les coordonnées de T :

T {(a-2c cos)(b-c)) / 2(b+c), c (b-c) sin ) /(b+c)}

Les coordonnées de D sont {a/2 - ac/(b+c) , 0} ou {(a/2)(b-c)/(b+c), 0}

La pente deDT est p= c(b-c) sin / ((a/2-c cos)(b-c) – (a/2)(b-c)) = -tg 

TD est donc parallèle à AB, ce qui entraine l’égalité des angles TDE et DAB ainsi que de BTE et EBA. Les triangles PDE et PET sont isocèles et P est équidistant de D, E et T.

On peut remarquer que les droites AM et AD forment avec BM et BT un quadangle harmonique, que le faisceau (AM,AD,AP,AB) est donc harmonique et que sa sécante TD, parallèleà AB, est coupée en son milieu par AP.