La saga de l'angle de 60° (7
èmeépisode)
Problème D1928 de Diophante, proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle. Les bissectrices intérieures desangles en B et en C coupent respectivement AC en L et AB en M.
Démontrer que l'angle en A est égal à 60°, si et seulement si BC = BM + CL.
Solution
En notant classiquement a, b, c les longueurs BC, CA et AB, il apparaît que BM / a = AM / c = b / (a+c) et que CL / a = AL / b = c / (a+b).
Ainsi on a : BM + CL = a [ b / (a+c) + c / (a+b) ]. Cette longueur est celle de BC si et seulement si la quantité entre crochets vaut 1.
C'est-à-dire : b(a+b) + c(a+c) = (a+b)(a+c) a(b+c) + b2 + c2 = a2 + a(b+c) + bc
a2 = b2 + c2 - bc
a2 = b2 + c2 – 2bc cos π/3 Expression caractéristique du fait que l'angle A est égal à 60°.
