Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle. Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC en L et AB en M. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si BC = BM + CL.
L’angle MIL vaut π-(B+C)/2=(π+A)/2, donc A=π/3 si et seulement si MIL=2π/3, donc si I appartient au cercle circonscrit à AML.
Si BM+CL=BC, il existe N entre B et C tel que BM=BN et CL=CN ; les triangles BMI et BNI d’une part, CLI et CNI d’autre part sont égaux, donc IL=IM=IN. Donc
INL=ILN=ILM=IML=IMN=INM, et MIN=LIM=NIL=2π/3, donc A=π/3.
Réciproquement, si A=π/3, MIL=2π/3, donc, si la bissectrice de BIC coupe BC en N, BIN=NIC=π/3, et BIM=CIL=π/3, donc les triangles BIM et BIN d’une part, CIL et CIN d’autre part sont égaux, et BM=BN, CL=CM donc BC=BM+CL.
