Enoncé D1928 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (7ème et dernier épisode)
Soit un triangle ABC acutangle. Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC en L etAB en M. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si BC=BM+CL.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note les longueurs des côtésBC =a, CA=b, AB=C.
Evaluant de deux façons le rapport des aires des trianglesBCLet BLA, qui ont même angle en B, le côtéBL en commun et même hauteur issue deB, on a classiquementCL/LA=BC/BA=a/c, puisCL/a=LA/c=b/(a+c). De même BM/a=c/(a+b).
Formons l’expression
(a+b)(a+c)(CL+BM−BC) =a(b(a+b)+c(a+c)−(a+b)(a+c)) = a(b2+c2−a2−bc) = 2abc(cosA−1/2) par la relation d’Al-Kashi.
Il y a donc équivalence entreBC =BM +CL et cosA= 1/2.
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