D1924. La saga de l'angle de 60° (5ème épisode) D1.Géométrie plane : triangles et cercles
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH rencontrent AB et AC respectivement aux points M et N.
Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si les trois points H, M et N sont alignés sur une même droite. Prouver que le centre O du cercle circonscrit à ABC est alors sur cette même droite.
Solution proposée par Paul Voyer
Q1) Les angles du quadrilatère AMHN parlent d'eux-mêmes.
angle M = angle N = 2*angle ACH = 2(/2-A) (triangles CHN et BHM) Pour que M, H et N soient alignés, il faut et il suffit que A+M+N=
A+2*(2(/2-A))=
2-3A=
A=/3
Le triangle AMN est alors équilatéral (les angles ACO et ABO valent 30°).
Q2)
Sans avoir à démontrer l'égalité (vraie) des triangles CON et BOM quelque soit l'angle BAC, si l'angle BAC vaut 60°, on peut dire que :
angle CON = 60° - angle OCN (triangle OCN) =angle MAO = angle MBO.
De même, les angles OCN et MOB sont égaux et valent 60°- angle MAO.
Il s'ensuit que les angles CNO et BMO sont égaux à 60°.
O est donc sur la droite MN, dont on sait qu'elle contient aussi le point H.
