Problème proposé par Dominique Roux
Démontrer que dans tout triangle ABC, la médiatrice du segment qui joint l’orthocentre au centre du cercle circonscrit passe par l’un des trois sommets du triangle si et seulement si l’un des angles est égal à 60°.
Soit un triangle ABC, Γ son cercle circonscrit, de centre O, H son orthocentre qui appartient au cercle Γ’, symétrique de Γ par rapport à BC. Si M est le milieu de l’arc BC de Γ ne contenant pas A, OM est parallèle à AH et OA=OM : OMHA est donc un trapèze qui est un losange si et seulement si l’angle BAC mesure 60°, donc si O appartient à Γ’ et AH=OM.
Si OMHA est un losange, ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, donc la médiatrice de OH passe par A.
Réciproquement, si la médiatrice de OH passe par A, AOH est isocèle, et la médiatrice de OH est la bissectrice de OAH, donc la bissectrice de BAC, qui passe par M. Or OM=OA, AH est parallèle à OM, et AM perpendiculaire à OH : OMHA est un losange.
