Enoncé D1922 (Diophante)
La saga de l’angle de 60° (4ème épisode)
Soit un triangle ABC acutangle. Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC et AB en L et M. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si l’on peut tracer un pointK sur le côté BC distinct deB et de C tel que le triangleKLM est équilatéral.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SupposonsKLM équilatéral avecK surBC. Les segmentsLM et LK sont vus deB sous le même angle, doncBL est médiatrice de KM. De mêmeCM est médiatrice deKL.BLetCM se coupent en I, centre du cercle inscrit au triangle ABC, et l’angle BIC, supplémentaire de l’angleLKM, vaut 120°.
Cela entraîne les relations angulairesIBC+ICB = 60°,
ABC+ACB= 2·IBC+2·ICB= 120°, et finalementBAC = 60°.
Supposons maintenantBAC = 60°. Les mêmes relations donnent BIC = 120°, BIM = CIL = 60°. Soit K1 le symétrique de M par rapport àBL, et K2 le symétrique de L par rapport à CM; ce sont des points deBC, et
BIK1+CIK2 =BIM +CIL = 120°= BIC, ce qui montre que K1 et K2 sont confondus en un même point K. Les symétries entraînent que LK = LM = KM, donc le triangle KLM est équilatéral.
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