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D1922 - La saga de l’angle de 60° (4ème épisode)

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Dominique Roux

Soit un triangle ABC acutangle.Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC et AB en L et M. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si l’on peut tracer un point K sur le côté BC distinct de B et de C tel que le triangle KLM est équilatéral.

L’angle BLC a pour mesure π-B/2-C=A+B/2, et l’angle CMB=A+C/2. Soit I l’intersection de BL et CM, L’ et M’ les symétriques de L et M respectivement par rapport à CM et BL. L’ et M’ sont sur le segment BC, LL’=MM’=LM, et CL’I=A+B/2, BM’I=A+C/2, donc CL’I+BM’I=2A+B/2+C/2=3A/2+π/2. L’ et M’ sont confondus en K (KLM est équilatéral) si et seulement si 3A/2=π/2, donc si A=π/3.

D1922 - La saga de l’angle de 60° (4ème épisode)

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