D1988 SAGA de l'angle 60°(10ème épisode)
Soient O et I les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit d’un triangle ABC.Les points D,E et F désignent les points de contact du cercle inscrit avec les côtés BC,CA et AB.
Montrer que la droite (OI) est perpendiculaire à la bissectrice de l’angle EDF si et seulement si l’angle BAC est égal à 60°.
On peut supposer que le cercle EDF est le cercle unité, D, E, F ayant pour affixes d, e, f. Le point I est en l'origine. On suppose encore que A est sur l'axe Ox, c'est à dire que e et f sont conjugués.
Les affixes de B et C sont : b = 2fd/(f+d) et c = 2d/(1+fd) [c obtenu en remplaçant f par 1/f]
L'affixe de A est a = 2f/(1+f²) qui est réel positif . (on suppose Ré(f) > 0 , et on suppose aussi Ré(d)<Ré(f) sinon le cercle unité serait exinscrit au triangle ABC )
L'affixe du milieu de AB est f[d/f+d) + 1/(1+f²)]
Comme AB est perpendiculaire à IF, un point d'affixe z est sur la médiatrice de AB si et ssi { z – f[d/(f+d) + 1/(1+f²)] } / f est réel
médiatrice de AB : z/f – d/(f+d) – 1/(1+f²) = ̄z f – f/(f+d) – f²/(1+f²) (*) médiatrice de AC : zf – fd/(1+fd) – f²/(1+f²) = ̄z /f – 1/(1+fd) – 1/(1+f²) (**) Pour trouver l'affixe de O on élimine ̄z en formant (*) – (**).f² ce qui donne : z(1/f – f3 ) – d/(f+d) – 1/(1+f²) + f3d/(1+fd) + f4/(1+f²) = – f/(f+d) – f²/(1+f²) + f²/(1+fd) + f²/(1+f²) La résolution conduit à z = 2fd(fd+f²+1) / [(df+1)(d+f)(f²+1)] qui définit la direction de IO.
Mais 2f/(f²+1) est réel, donc le nombre d(fd+f²+1) / [(df+1)(d+f)] définit aussi la direction de IO.
Les bissectrices de EDF passent par les milieux des l'arcs EF d'affixe 1 et – 1 , le nombre d – 1 définit la direction de la bissectrice intérieure de EDF, et d+1 définit la direction perpendiculaire.
la droite (OI) est perpendiculaire à la bissectrice de l’angle EDF si et ssi d(fd+f²+1) / [(df+1)(d+f)(d+1)] est réel c'est à dire égal à son conjugué : d(fd+f²+1) / [(df+1)(d+f)(d+1)] = d(df²+d+f) / [(df+1)(d+f)(d+1)] ,
fd+f²+1 = df² +d+f , (f² – f + 1)(1 – d ) = 0, or 1 – d ≠ 0 car Ré(d) < Ré(f) < 1.
''f² – f + 1 = 0 '' ↔ l'angle EIF vaut 120° ↔ l'angle EAF vaut 60° ↔ l'angle BÂC vaut 60°.
Donc la droite (OI) est perpendiculaire à la bissectrice de l’angle EDF si et seulement si l’angle BAC est égal à 60°.
