D656 – La construction du vieux taupin
Construire à la règle et au compas un triangle dont on connaît la surface, le périmètre et un angle.
Source: Ross Honsberger - A typical problem on an entrance exam for the Ecole Polytechnique
Solution par Patrick Gordon
Si l'on connaît la surface S et le périmètre 2p, on connaît le rayon r du centre du cercle inscrit par S = pr.
Comme on connaît un angle (soit A) on peut commencer à tracer la figure. Soient P et Q les points où le cercle inscrit touche les côtés de l'angle A.
On a donc :
AP = AQ = p – BC.
On connaît donc a = BC, donc aussi la hauteur h = AH par : S = ah/2.
Le côté BC est donc tangent à deux cercles :
le cercle inscrit
le cercle de centre A de rayon h.
Il y a deux solutions symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle en A.
La construction des tangentes communes à deux cercles est bien connue. Rappelons-la brièvement.
On commence par déterminer le centre d'homothétie directe K à partir de deux rayons parallèles et de même orientation (par exemple orthogonaux à la droite des centres).
Ce point K est celui d'où partent les tangentes cherchées. Construire une tangente à un cercle par un point donné n'est plus qu'une affaire d'intersection de cercles.
