D10513. Euler à angle droit
On sait que dans un triangle non équilatéralABC, de côtésa, b, c, le centre Odu cercle circonscrit, le centre de gravitéGet l’orthocentreHsont alignés, la droite ∆ qui les porte étant appelée droite d’Euler.
Démontrer ce théorème par une méthode qui prouve du même coup que ∆ est orthogonale au vecteur
~u=a2BC~ +b2CA~ +c2AB~ Solution
Soient D, E, F les milieux de BC, CA, AB; en notantBC~ ·M D~ le produit scalaire, associons à tout pointM du plan la fonction scalaire
f(M) =a2BC~ ·M D~ +b2CA~ ·M E~ +c2AB~ ·M F~ .
On a f(O) = 0 (orthogonalité de BC~ etOD, etc.), d’où par distributivité~ du produit scalairef(O)−f(M) =~u·OM~ . Ainsi f(M) = 0 est l’équation de la droite ∆ menée parO perpendiculairement au vecteur~u.
Evaluons f(G), observant que 6GD~ = 2AD~ =AB~ +AC, d’où~ 6BC~ ·GD~ = (AC~ −AB)~ ·(AB~ +AC) =~ b2−c2, puis
6f(G) =a2(b2−c2) +b2(c2−a2) +c2(a2−b2) = 0. DoncGappartient à ∆.
SoientI, J, les pieds des hauteurs abaissées deA, B, C. On a
2HD~ = 2HI~ + 2ID~ = 2HI~ +IB~ +IC, avec~ HI~ orthogonal à BC, d’où~ 2BC~ ·HD~ = (IC~ −IB)~ ·(IB~ +IC~ ) =IC2−IB2 =
= (IC2+IA2)−(IB2+IA2) =b2−c2.
Ainsi 2f(H) = 6f(G) = 0, etH appartient aussi à ∆.
Remarque. Jean-Nicolas Pasquay observe que la fonction proposée
f(M) =a2BC~ ·M D~ +b2CA~ ·M E~ +c2AB~ ·M F~ peut être remplacée par g(M) =a2BC~ ·M I~ +b2CA~ ·M J~ +c2AB~ ·M K, où~ I, J, K sont les pieds des hauteurs, ou par
h(M) =a2BC~ ·M U~ +b2CA~ ·M V~ +c2AB~ ·M W~ , oùU, V, W sont les milieux des segments joignant l’orthocentre aux sommets du triangle.
