D1994. La sage de l'angle de 60° (12ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle tel que AB > AC. Les points O et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre. La droite (OH) rencontre la droite (AB) au point P et la droite (AC) au point Q. Démontrer que PO = HQ si et seulement si angle(BAC)= 60°.
Les points A, B, C sont sur le cercle unité et leurs affixes sont a, b, c . L'affixe de l'orthocentre H est h = a+b+c.
L'égalité PO=HQ équivaut à aff(P) + aff(Q) = aff(H) = h.
L'affixe de P est de la forme ph avec p réel . L'affixe de Q est de la forme qh avec q réel . Avec ces notations, PO=HQ équivaut à p+q = 1.
P est sur AB équivaut à (ph-a)/(b-a) est réel ou encore (ph-a)/(b-a) = (p h - a )/( b - a ) ou p = (a b - b a )/[ h (a-b) + h( b - a ) ] et, sachant que a =1/a, b =1/b, et
h =1/a+1/b+1/c, il vient p = c(a+b)/(2ca+2cb+ab+c²).
En échangeant b et c, il vient q = b(a+c)/(2ba+2cb+ac+b²).
Puis p+q – 1 = (b²+bc+c²)(a+c)(a+b) / [(2ca+2cb+ab+c²)(2ba+2cb+ac+b²)]
L'égalité PO=HQ équivaut à (b²+bc+c²)(a+c)(a+b) = 0.
a+c=0 ou a+b=0 impliquerait que le triangle ABC est rectangle en B ou en C, mais l'énoncé précise que ce triangle est acutangle : ces cas sont donc exclus.
Il reste enfin b²+bc+c² = 0 qui équivaut à angle BOC = + 120° ou BAC = + 60°.
En conclusion PO = HQ si et seulement si angle(BAC)= 60° .
