D1928 – La saga de l’angle de 60° (7ème et dernier épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle. Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC en L et AB en M. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et
seulement si BC = BM + CL.
Solution proposée par Patrick Gordon
On sait que le pied de la bissectrice partage le côté dans le rapport des deux autres côtés respectifs.
Ainsi :
BM / a = AM / b = c / (a+b) D'où :
BM = ac / (a+b) De même :
CL = ab / (a+c).
Si BC = BM + CL, on a :
a = ac / (a+b) + ab / (a+c) D'où, en simplifiant :
a² = b² + c² – bc
Ce qui implique que cos (BAC) = ½, donc BAC = 60°.
Réciproquement, si BAC = 60°, on a cos (BAC) = ½, donc a² = b² + c² – bc, et l'on peut remonter la succession d'égalités jusqu'à a = ac / (a+b) + ab / (a+c), qui signifie bien que BC = BM + CL.
