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La saga de l'angle de 60°

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Academic year: 2022

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La saga de l'angle de 60°

(5iéme épisode)

Problème 1924 de Diophante, proposé par Dominique Roux

Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH rencontrent AB et AC respectivement aux points M et N. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si les trois points H, M et N sont alignés sur une même droite. Prouver que le centre O du cercle circonscrit à ABC est alors sur cette même droite.

Solution

Ci-dessous, il apparaît que les angles orientés MCH, CHM, NHB et HBN sont complémentaires de l'angle BAC, de mesure a.

Ainsi l'angle MHN a pour mesure : – a + 2( /2 – a) = 2 – 3a, qui vaut si et seulement si a = / 3.

Lorsque a = / 3 le point D est sur le cercle circonscrit au triangle ABC. Les triangles AMN et DMN sont équilatéraux. La droite MN est la médiatrice de AD ; donc O est sur la droite MN.

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