si deux des angles d´epassent 60◦,I est plus proche de H que de O

Enonc´e D1908 (Diophante)

La saga de l’angle de 60^◦ (1er ´episode) (Probl`eme propos´e par Dominique Roux)

D´emontrer que dans tout triangle ABC o`u l’angle en A n’est ni le plus grand ni le plus petit des trois angles, le centre du cercle inscrit est `a ´egale distance de l’orthocentre et du centre du cercle circonscrit si et seulement si l’angle en Aest ´egal `a 60^◦.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Si un triangle a un angle de 60^◦, cet angle n’est ni le plus grand ni le plus petit, puisque 60^◦. est la moyenne des trois angles. Il suffit donc de prouver que |IO|=|IH|si et seulement si l’un des angles vaut 60^◦.

Cela d´ecoule de la relation

|OI|²− |HI|² = 4R³ r



 Y

A,B,C

sinA 2







 Y

A,B,C

(2 cosA−1)





justifi´ee en annexe.

Cette relation montre en outre que, si aucun des angles ne vaut 60^◦, – si deux des angles d´epassent 60^◦,I est plus proche de H que de O, – si un seul des angles d´epasse 60^◦,I est plus proche de O que de I.

Annexe

Je travaille en coordonn´ees barycentriques. Celles-ci sont, pour ces points remarquables du triangle,

I

1−tan(B/2) tan(C/2)

2 ,1−tan(C/2) tan(A/2)

2 ,1−tan(A/2) tan(B/2) 2

, H(cotBcotC,cotCcotA,cotAcotB),

O

1−cotBcotC

2 ,1−cotCcotA

2 ,1−cotAcotB 2

.

La distance de deux pointsM(x, y, z) et M⁰(x⁰, y⁰, z⁰) est donn´ee par

|M M⁰|² =−a²(y−y⁰)(z−z⁰)−b²(z−z⁰)(x−x⁰)−c²(x−x⁰)(y−y⁰) supposantx+y+z= 1 =x⁰+y⁰+z⁰, avec|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c.

PourM =O etM⁰ =I, on a

x−x⁰ = tan(B/2 tan(C/2)−cotBcotC

2 = 1−cosB−cosC

2 sinBsinC ,

et poury−y⁰ etz−z⁰ les expressions analogues obtenues par permutation circulaire.

Le terme−a²(y−y⁰)(z−z⁰) de|OI|² est

−4R²sin²A·1−cosC−cosA

2 sinCsinA ·1−cosA−cosB 2 sinAsinB soit une contribution `a 4 sinAsinBsinC· |OI|²/R²

−4sinA(1−cosC−cosA)(1−cosA−cosB)

`

a quoi il faut ajouter les contributions analogues obtenues par permutation circulaire.

De mˆeme pour M =H etM⁰ =I, on a x−x⁰ = tan(B/2 tan(C/2) + 2 cotBcotC−1

2 =

= (1−2 cosB)(1−2 cosC) + 1−2 cosA

4 sinBsinC ,

et poury−y⁰ etz−z⁰ les expressions analogues obtenues par permutation circulaire.

Le terme−a²(y−y⁰)(z−z⁰) de|HI|² est 1

−4R²sin²A×(1−2 cosC)(1−2 cosA) + 1−2 cosB

2 sinCsinA ×

× (1−2 cosA)(1−2 cosB) + 1−2 cosC 2 sinAsinB

soit une contribution `a 4 sinAsinBsinC· |HI|²/R²

−sinA((1−2 cosC)(1−2 cosA) + 1−2 cosB)×

×((1−2 cosA)(1−2 cosB) + 1−2 cosC)

La contribution `a la diff´erence 4 sinAsinBsinC(|OI|²− |HI|²)/R² prend alors la forme

(sin(2A)−sinA)((1−2 cosA)²+S−K−P)

o`uS est la somme des quantit´es 1−2 cosA, 1−2 cosB, 1−2 cosC, K est la somme de leurs carr´es etP leur produit.

Il reste `a compl´eter cette contribution par les expressions analogues obte- nues par permutation circulaire.

Pour cela, notons S_k = ^P_A,B,Csin(kA) = sin(kA) + sin(kB) + sin(kC).

Comme on a

(sin(2A)−sinA)((1−2 cosA)²=−4 sinA+5 sin(2A)−3 sin(3A)+sin(4A), la diff´erence ∆ = 4 sinAsinBsinC(|OI|²− |HI|²)/R² a pour valeur

−4S₁+ 5S2−3S3+S4+ (S2−S1)(S−K−P).

La condition A+B+C=π permet d’obtenir S₁= 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2),

S2= 4 sinAsinBsinC,

S₃=−4 cos(3A/2) cos(3B/2) cos(3C/2), S4=−4 sin(2A) sin(2B) sin(2C), puis

S2/S1= 8 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2) = 1−S, S₃/S₁=−^Q_A,B,C(4 cos²(A/2)−3) =P, S4/S2=−8 cosAcosBcosC =

= 2 + 2 cos(2A) + 2 cos(2B) + 2 cos(2C) =K−1−2S;

c’est aussi ^Q_A,B,C((1−2 cosA)−1) =P−(S²−K)/2 +S−1, d’o`u

K= 6S−S²+ 2P.

Mettant en facteur (avecp demi-p´erim`etre,r rayon du cercle inscrit) S₁=p/R=abc/(4rR²) = (2R/r) sinAsinBsinC,

on a pour ∆/S₁= 2r(|OI|²− |HI|²)/R³

−4 + 5(1−S)−3P+ (1−S)(K−1−2S) + (1−S−1)(S−K−P).

SubstituantK et r´earrangeant, il reste 2r(|OI|²− |HI|²)/R³ =P(S−1) et finalement

|OI|²− |HI|² = 4R³ r



 Y

A,B,C

sinA 2







 Y

A,B,C

(2 cosA−1)





2