D1908. La saga de l'angle de 60° (1er épisode)
Problème proposé par Dominique Roux
Démontrer que dans tout triangle ABC où l’angle en A n’est ni le plus grand ni le plus petit des trois angles, le centre du cercle inscrit est à égale distance de l’orthocentre et du centre du cercle circonscrit si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.
On pose
= =
=
√Abscisse Ordonnée Equation
A
B
C
Droite AB = 0
Droite AC =
Droite BC = − −
Hauteur sur AB = −
Hauteur sur AC = −
+
Orthocentre H −
Médiatrice de AB =
2
Médiatrice de AC = −
+(1 + ) 2 Centre cercle circonscrit Ω
2 − + +
2
Bissectrice de %& y =−1 + √1 + t
t
Bissectrice de )* = ( − )
− + +( − )+
Centre du cercle inscrit , ω.= + √1 + − +( − )+ 2
ω/=0−1 + √1 + 10 + √1 + − +( − )+ 1 2
On calcule ,2
,Ω
, et on résout l'équation ,2
= ,Ω
. Là, les choses se compliquent :
,2= 3− +1
2 4 + +1 + − +( − )+ 56+ 3− −
+(−1 + √1 + )( + √1 + − +( − )+ )
2 6
,Ω
= 7−
8+
0 + √1 +
− +( − )
+
19
+ 7−
8+
(√)(8√ +(8))9
La formule des sinus dans le triangle ABC donne
sin =): %:
sin > = %) sin ? Pythagore donne : ):= ( − )+ , %:= + , et %) =
):
sin =+( − )+
sin = %)
sin ? =
sin ? ⇒ +( − )+ = sin sin ? +1 + = +1 + = A 1
B =+1 + = 1 B Avec Al-Kashi on obtient :
%:= %)+ ):− 2%). ):. cos >
+ = + ( − )+ − 2+( − )+ cos >
+ = + ( − )+ − 2sin sin ? cos >
= 71 −sin cos >
sin ? 9 =
? = F − − >
En remplaçant les expressions en rouge par leur valeur, on trouve
,2− ,Ω= G−
2 +1
2 7 +
cos α 71 − cos β sin α
sin(π − α − β)9 − sin α sin(π − α − β)9K
− G− 71 − cos β sin α sin(π − α − β)9 +1
2 7 +
cos α 71 − cos β sin α
sin(π − α − β)9 − sin α sin(π − α − β)9K
− L− − 71 − cos β sin αsin(π − α − β)9
tg α +4−1 + 1cos α5 7 + 71 − cos β sin α sin(π − α − β)9 1
cos α − sin α sin(π − α − β)9
2tg α N
+ L−− + 71 − cos β sin αsin(π − α − β)9 + 71 − cos β sin α
sin(π − α − β)9 tg α 2tg α
+4−1 + 1cos α5 7 + 71 − cos β sin α sin(π − α − β)9 1
cos α − sin α sin(π − α − β)9
2tg α K
Ce que Mathematica a le bon gout de simplifier immédiatement en : ,2− ,Ω= −
4 (2 cos − 1)(2 cos > − 1)(2 cos( + >) + 1) BP( + >)
que lUon corrige avec ∶ cos( + >) = cos(F − ?) = − cos ? ,2− ,Ω=
4
(2 cos − 1)(2 cos > − 1)(2 cos ? − 1) BP( + >)
,2− ,Ω= 0 ⇒ Z[
\
[]cos =1^ 2 ⇒ = F 3^ = 60°
cos > = 1 2^ ⇒ > = F 3b ^ = 60°
cos ? = 1 2^ ⇒ ? = F 3b ^ = 60°
c
Donc l'un des 3 angles du triangle ABC vaut 60° : ce n'est donc ni le plus petit, ni le plus grand.
