D1908 – La saga de l’angle de 60° (1er épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Démontrer que dans tout triangle ABC où l’angle en A n’est ni le plus grand ni le plus petit des trois angles, le centre du cercle inscrit est à égale distance de l’orthocentre et du centre du cercle circonscrit si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.
Solution partielle par Patrick Gordon
Montrons tout d'abord que, si l’angle en A est égal à 60°, alors le centre du cercle inscrit est à égale distance de l’orthocentre et du centre du cercle circonscrit.
Bien entendu, en pareil cas, l’angle en A n’est ni le plus grand ni le plus petit des trois angles, puisqu'il reste 120° à se partager entre les deux autres.
Le cercle [O'] symétrique du cercle [O] circonscrit à ABC est centré en O', sur le cercle [O], là où le coupe la bissectrice intérieure de A.
Comme H', point où la hauteur AH coupe le cercle [O], est le symétrique de l'orthocentre H par rapport à BC (propriété connue de l'orthocentre d'un triangle), inversement H est sur [O'].
Le quadrilatère AOO'H est un losange. En effet,
- OO' est parallèle et égal à AH, dans la translation qui échange les deux cercles, - OO' = O'H = AO = R rayon du cercle circonscrit.
Or AO', diagonale du losange, est la bissectrice de A et le point I est donc sur cette diagonale, donc à égale distance de H et de O.
