D1908 : La saga de l’angle de 60°
Problème proposé par Dominique Roux
Démontrer que dans tout triangle ABC où l’angle en A n’est ni le plus grand ni le plus petit des trois angles, le centre du cercle inscrit est à égale distance de l’orthocentre et du centre du cercle circonscrit si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.
Rappelons que dans tout triangle, chaque bissectrice est également bissectrice de l’angle formé par les segments qui joignent le sommet au centre O du cercle
circonscrit Γ et à l’orthocentre H. Soit A1 le milieu de l’arc BC de Γ qui ne contient pas A : A A1 est la bissectrice des angles BAC et HAO.
Si l’angle A est égal à 60°, le symétrique Γ’ par rapport à BC de Γ passe par O, et a pour centre A1, et réciproquement. HAOA1 est un losange, AA1 est également bissectrice de OA1H, donc passe par le milieu de l’arc OH de Γ’; B et C étant deux points de Γ’, les bissectrices de OBH et OCH passent également par le milieu de l’arc OH, qui est donc le centre I du cercle inscrit, et OI=IH.
Réciproquement, si OI=IH, les quadrilatères AOIH, BOIH, COIH où la diagonale est bissectrice, sont convexes, s’ils ne sont pas isocèles (AO=AH ...). Comme A, B et C ne sont pas tous du même coté de la droite d’Euler, ils ne peuvent être tous les trois convexes, donc l’un d’entre eux est isocèle: avec le milieu de l’arc opposé, O, I et le sommet forment un losange, donc l’angle de ce sommet est égal à 60°, et comme ce n’est ni le plus grand ni le plus petit, c’est nécessairement A.
