D1857. La saga de l’angle de 45
o(1er ´ episode)
ABC triangle scal`ene,M un point deBCtel que la m´ediatrice deHX passe parA, c`ad que le triangleAHXest isoc´ele (sB etsC sont les sym´etriques par rapport aux hauteurshB et hC deAM et non pas de la m´ediane).
Γ0cercle circonscrit `aABC,Γ1le sym´etrique de Γ0//BC (centreO) B2= AC∩Γ1 etC2 =AB∩Γ1
Ψ cercle (M, MB) passant parB1 etC1
P uiss(A//Ψ) =AB×AC1= AC×AB1=AH×AA1
P uiss(A//Γ1) =AB×AC2=AC×AB2 =AH×AA0 AA0 = 2AA1 ⇒ AB2 = 2AB1 etAC2= 2AC1
DoncB2appartient `a Sb etC2 `aSc.
AB2C2est indirectement semblable `aABC : AB\2C2 =CBA\ et sym´etr.
Si on compare les 2 trianglesB2C2Aet B2C2H (ouB2C2X), la somme des angles ”en moins” enB2et enC2est ´egale `aBAC, vu les sym´\ etries // `aBB1
et CC1. Donc les angles enH et enX sont ´egaux `a 2BAC\ :
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X, commeH, appartient `aΓ1
XHB\ =OAC\ (droites perpendiculaires 2 `a 2) BAM\ = IC\2A(sym´etrie //hC)
XHB\ =IC\2A(mˆeme arc BX intercept´e surΓ1) : AM etAO sont conjugu´ees isogonales dansABC Si, et seulement si,BAC\ = π/4, alorsC\2XB2=π/2.
B2C2est un diam`etre deΓ1,Oest surΨet la conjugu´ee isogonale deAOest la m´ediane issue de A.
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