D1858. La saga de l’angle de 45◦ (2ième épisode)
Soit un triangle ABC dont l’angle en Aest égal à 45◦. On trace l’ortho- centre H et le point M milieu du côté BC. Les droites symétriques de la droite AM respectivement par rapport aux hauteurs BB1 et CC1 du triangle ABC se rencontrent au pointX. Démontrer que AX =BC. Solution proposée par Michel ROME
Appelons (b) et (c) les droites symétriques de la droite AM respective- ment par rapport aux hauteurs BB1 et CC1.
En angle de droites (BH, AC) =π/2 , (CH, AB) =π/2.
(HB, HC) = (HB, AC) + (AC, AB) + (AB, CH) = −(AB, AC) On passe de (b) à (c) en composant deux symétries axiales. La com- posée de deux symétries axiales est en général une rotation centrée à intersection des axes et dont l’angle vaut le double de celui des axes.
Donc (b) et (c) sont orthogonaux.
Considérons pour chaque sommet la droite passant par ce point et pa- rallèle au coté opposé. Ces droites supportent un grand triangle A0B0C0 dont les cotés ont des longueurs doubles de ceux de ABC. Les hauteurs de ABC deviennent les médiatrices de A0B0C0. Le sommet A0 opposé à Aest sur AM. On voit que son symétrique par rapport àBH estC0, qui est aussi sur (b) symétrique de AM. De même pour B0 sur (c).
Le triangleB0XC0 est rectangle enX etAX est sa médiane de longueur moitié de celle de l’hypoténuse. D’où en longueur AX =BC.
B C
A
k l
B1
H C1
M (b)
(c)
X
A0
B0 C0
