Plan de la présentation du chapitre II
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux II-1- Notions de base de la symétrie cristalline
II-2- Symétries d’orientation ou finies
II-2-1-Axes de rotation propres n (2; 3; 4; 5; 6) II-2-2-Axes de rotation impropres (; ; ; ; ; )
II-3- Symétries de position ou bien infinies
II-3-1-Axes hélicoïdaux n
t(2; 3; 4; 5; 6) avec 1≤t≤n II-3-2-Plans de glissement a; b; c; e; d…
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux II-1- Notions de base de la symétrie cristalline
II-2- Symétries d’orientation ou finies
II-2-1-Axes de rotation propres n (2; 3; 4; 5; 6) II-2-2-Axes de rotation impropres (; ; ; ; ; )
II-3- Symétries de position ou bien infinies
II-3-1-Axes hélicoïdaux n
t(2; 3; 4; 5; 6) avec 1≤t≤n II-3-2-Plans de glissement a; b; c; e; d…
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 1 03/11/2022
Symétrie cristalline
Opération de symétrie
Axes propres:
n= 1, 2, 3, 4, 6 Axes impropres:
= , , , ,
7 systèmes cristallins Elément
de symétrie
4 modes de Bravais
Axes hélicoïdaux:
n
t= 2
t, 3
t, 4
t, 6
tplan de glissement a, b, c, d, e……
Groupes de position
Groupes
d’orientation
II-1- Notions de base de la symétrie cristalline
II-1-1- groupe: On appelle groupe tout ensemble non-vide G muni d’une loi de composition interne * , vérifiant les 4 propriétés suivantes:
la loi est associative dans G: rappelons que cela signifie que :∗ x (y z) = (x y) z pour tous x, y, z G∗ ∗ ∗ ∗ ∈ .
la loi admet un élément neutre dans G: rappelons que cela ∗ signifie qu’il existe e G tel que : ∈ x e = e x = x pour tout x ∗ ∗ ∈ G.
tout élément de G doit avoir un inverse dans G pour la loi :∗
rappelons que cela signifie que, pour tout x G, il existe x∈ -1 G tel ∈ que x x∗ -1 = x-1 x = e∗ .
le produit par cette loi de deux éléments de G est un élément de ∗ G: rappelons que cela signifie que x, y G, il existe z G tel que: ∈ ∈ x y = z∗ .
II-1-2- Groupe abélien: On appelle groupe commutatif, ou groupe abélien, tout groupe G dont la loi vérifie de plus la condition supplémentaire de commutativité: x y = y x pour tous x, y G∗ ∗ ∈ . II-1-1- groupe: On appelle groupe tout ensemble non-vide G muni d’une loi de composition interne * , vérifiant les 4 propriétés suivantes:
la loi est associative dans G: rappelons que cela signifie que :∗ x (y z) = (x y) z pour tous x, y, z G∗ ∗ ∗ ∗ ∈ .
la loi admet un élément neutre dans G: rappelons que cela ∗ signifie qu’il existe e G tel que : ∈ x e = e x = x pour tout x ∗ ∗ ∈ G.
tout élément de G doit avoir un inverse dans G pour la loi :∗
rappelons que cela signifie que, pour tout x G, il existe x∈ -1 G tel ∈ que x x∗ -1 = x-1 x = e∗ .
le produit par cette loi de deux éléments de G est un élément de ∗ G: rappelons que cela signifie que x, y G, il existe z G tel que: ∈ ∈ x y = z∗ .
II-1-2- Groupe abélien: On appelle groupe commutatif, ou groupe abélien, tout groupe G dont la loi vérifie de plus la condition supplémentaire de commutativité: x y = y x pour tous x, y G∗ ∗ ∈ .
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 3 03/11/2022
II-1-3- ordre d’1 groupe: on appelle ordre d’1 groupe le nbre d’élément contenu dans cette groupe.
II-1-4- ordre d’1 élément: pour tout x G, on appelle ordre d’1 élément le plus ∈ petit nbre entier (s) tel que xs =E=1. exple: (C2)2 =E=1; (C3)3 =E=1; (C4)4 =E=1.
II-1-5- Classe d’élément de symétrie- éléments conjugués: soit x, y, z G, on dit ∈ que x est conjugué avec y si la relation suivante est vérifiée: z=y*x*y-1
x et y forment une classe d’élément de symétrie. Si le groupe est abélien chaque élément de G forme une classe à lui tant seul. en effet :
y*x*y-1 =x*y*y-1 *x=E*x=x
II-1-6- Sous groupe : si une partie des éléments de G forme elle-même un groupe, alors cet ensemble est un sous groupe d’un groupe G. exple : C2 est un sous groupe de C4 et C6; C3 est un sous groupe de C6
II-1-3- ordre d’1 groupe: on appelle ordre d’1 groupe le nbre d’élément contenu dans cette groupe.
II-1-4- ordre d’1 élément: pour tout x G, on appelle ordre d’1 élément le plus ∈ petit nbre entier (s) tel que xs =E=1. exple: (C2)2 =E=1; (C3)3 =E=1; (C4)4 =E=1.
II-1-5- Classe d’élément de symétrie- éléments conjugués: soit x, y, z G, on dit ∈ que x est conjugué avec y si la relation suivante est vérifiée: z=y*x*y-1
x et y forment une classe d’élément de symétrie. Si le groupe est abélien chaque élément de G forme une classe à lui tant seul. en effet :
y*x*y-1 =x*y*y-1 *x=E*x=x
II-1-6- Sous groupe : si une partie des éléments de G forme elle-même un groupe, alors cet ensemble est un sous groupe d’un groupe G. exple : C2 est un sous groupe de C4 et C6; C3 est un sous groupe de C6
II-1-7- Opération de symétrie: L’opération de symétrie est 1 opération qui amène l’objet en coïncidence avec lui-même: soit dans 1 position identique soit dans 1 position équivalente.
II-1-8- Élément de symétrie: est 1 être géométrique (point, droite ou plan) qui sert à définir opération de symétrie.
II-1-9- Axe principale: c’est l’axe propre qui a l’ordre le plus élevé. exple: sys. cubique 4; sys. monoclinique 2; sys. monoclinique 2; sys. triclinique 1;Sys. Trigonal 3.
II-1-10- Plan vertical: c’est le plan qui contient l’axe principale d’ordre n. on le note m.
II-1-11- Plan horizontal: c’est le plan qui est perpendiculaire à l’axe principale d’ordre n. on le note n/m. exple: 2/m; 4/m; 6/m.
II-1-12- Groupe ponctuel: l’ensemble des opérations du symétrie d’un système forme un groupe ponctuel. Le groupe est dit ponctuel si tous les éléments de symétrie laissent invariant un point du système.
II-1-7- Opération de symétrie: L’opération de symétrie est 1 opération qui amène l’objet en coïncidence avec lui-même: soit dans 1 position identique soit dans 1 position équivalente.
II-1-8- Élément de symétrie: est 1 être géométrique (point, droite ou plan) qui sert à définir opération de symétrie.
II-1-9- Axe principale: c’est l’axe propre qui a l’ordre le plus élevé. exple: sys. cubique 4; sys. monoclinique 2; sys. monoclinique 2; sys. triclinique 1;Sys. Trigonal 3.
II-1-10- Plan vertical: c’est le plan qui contient l’axe principale d’ordre n. on le note m.
II-1-11- Plan horizontal: c’est le plan qui est perpendiculaire à l’axe principale d’ordre n. on le note n/m. exple: 2/m; 4/m; 6/m.
II-1-12- Groupe ponctuel: l’ensemble des opérations du symétrie d’un système forme un groupe ponctuel. Le groupe est dit ponctuel si tous les éléments de symétrie laissent invariant un point du système.
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 5 03/11/2022
II-1- Notions de base de la symétrie cristalline
Opération de
symétrie Elément de
symétrie Symbole selon
Schonflies Symbole selon Hermann Mauguin
Identité Axe de symétrie E 1
Rotation Axe de symétrie Cn ou An n= 2;3;4;6
inversion Point ou centre de
symétrie i
Rotation inversion Axe de symétrie +centre de
symétrie
Sn =; ; ;
Réflexion Plan de symétrie σ m
Axe hélicoïdal Translation suivie rotation ou rotation inversion
nt= 2t;3t;4t;6t
=; ; t; Plan de glissement Translation suivie
réflexion a; b; c; a +b……
Opération de
symétrie Elément de
symétrie Symbole selon
Schonflies Symbole selon Hermann Mauguin
Identité Axe de symétrie E 1
Rotation Axe de symétrie Cn ou An n= 2;3;4;6
inversion Point ou centre de
symétrie i
Rotation inversion Axe de symétrie +centre de
symétrie
Sn
Réflexion Plan de symétrie σ m
Axe hélicoïdal Translation suivie rotation ou rotation inversion Plan de glissement Translation suivie
réflexion a; b; c; a +b……
II-2- Symétries de groupes ponctuels
Le nombre des éléments de symétrie d’orientation est limité et leur classification simple. Ils se ramènent tous à deux types :
Axes de rotation (abréviation n): L’axe direct n fait coïncider le cristal avec lui-même après une rotation d’angle avec 1≤k≤n. n et k sont des nombres entiers positifs. n est appelé ordre de l’axe de rotation.
Axes de rotation-inversion (abréviation): axe impropre est une rotation autour d’un axe suivie d’une inversion par rapport à un point situé sur cet axe. avec : si n est pair 1≤k≤n; si n est impair 1≤k≤2n
II-1-1- Limite aux ordres de rotation dans un réseau
Le réseau de translation limite les ordres de rotation possibles à cinq. En effet, (figure ci- après) soit un axe n perpendiculaire au plan de la figure et s’exerçant en O. Au nœud A correspond P dans l’opération n, de même B, symétrique de A par rapport à O, provient de Q. la rangée PQ, parallèle à AB, est donc identique à celle –ci.
Le nombre des éléments de symétrie d’orientation est limité et leur classification simple. Ils se ramènent tous à deux types :
Axes de rotation (abréviation n): L’axe direct n fait coïncider le cristal avec lui-même après une rotation d’angle avec 1≤k≤n. n et k sont des nombres entiers positifs. n est appelé ordre de l’axe de rotation.
Axes de rotation-inversion (abréviation): axe impropre est une rotation autour d’un axe suivie d’une inversion par rapport à un point situé sur cet axe. avec : si n est pair 1≤k≤n; si n est impair 1≤k≤2n
II-1-1- Limite aux ordres de rotation dans un réseau
Le réseau de translation limite les ordres de rotation possibles à cinq. En effet, (figure ci- après) soit un axe n perpendiculaire au plan de la figure et s’exerçant en O. Au nœud A correspond P dans l’opération n, de même B, symétrique de A par rapport à O, provient de Q. la rangée PQ, parallèle à AB, est donc identique à celle –ci. 03/11/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 7
Il en résulte que PQ= k a, avec k nombre entier positif, négatif ou nul selon que l’angle 2π/n est aigu, obtus ou droit. Par ailleurs dans le triangle OPQ, on a: PQ=2acos(2π/n) d’où cos 2π/n =k/2
Des valeurs possibles de k. on déduit les 5 valeurs possibles de n tableau ci- après.
La démonstration est valable pour les ordres (au lieu de P et Q il intervient P’ et Q’ symétriques de ces points par rapport à O. On obtient ainsi 5 ordres prenant les valeurs , , , ou sont acceptables. Nous allons étudier ces 10 éléments de symétrie des groupes ponctuels dans les cristaux, et leurs combinaisons, afin dénombrer tous les groupes ponctuels possibles.
Il en résulte que PQ= k a, avec k nombre entier positif, négatif ou nul selon que l’angle 2π/n est aigu, obtus ou droit. Par ailleurs dans le triangle OPQ, on a: PQ=2acos(2π/n) d’où cos 2π/n =k/2
Des valeurs possibles de k. on déduit les 5 valeurs possibles de n tableau ci- après.
La démonstration est valable pour les ordres (au lieu de P et Q il intervient P’ et Q’ symétriques de ces points par rapport à O. On obtient ainsi 5 ordres prenant les valeurs , , , ou sont acceptables. Nous allons étudier ces 10 éléments de symétrie des groupes ponctuels dans les cristaux, et leurs combinaisons, afin dénombrer tous les groupes ponctuels possibles.
K 2 1 0 -1 -2
COS2π/n 1 1/2 0 -1/2 -1
2π/n 2π 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2
n 1 6 4 3 2
II-2- Symétries de groupes ponctuels II-2-1- Axe propre n:
II-2-1-1- Définition: on appelle axe de rotation d’ordre n tout axe autour du quel une rotation de 2π/n donne une figure équivalente à celle de départ.
L’axe d’ordre n engendre n opérations de symétrie distinctes symbolisées par nk rotation 2πk/n autour de l’axe n avec 1≤k≤n. nk=n1;n2, n3;…....; nn.
Exple: 2 parallèle à l’axe z II-2-1- Axe propre n:
II-2-1-1- Définition: on appelle axe de rotation d’ordre n tout axe autour du quel une rotation de 2π/n donne une figure équivalente à celle de départ.
L’axe d’ordre n engendre n opérations de symétrie distinctes symbolisées par nk rotation 2πk/n autour de l’axe n avec 1≤k≤n. nk=n1;n2, n3;…....; nn.
Exple: 2 parallèle à l’axe z
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 9 03/11/2022
L’opérateur 2 (axe binaire // à l’axe Z) transforme le point p (x, y, z) en point p’.
L’opérateur 2 (axe binaire)
transforme le point p (r, θ, φ) au point p’(r, θ, φ + π).
II-2-1-2- Représentation graphiques d’axes propres n: L’axe d’ordre 1 correspond à l’opération identité. les autres axes sont représentés dans les diagrammes par des symboles graphiques (tableau suivant).
Ces symboles des axes 2,3,4,6 sont respectivement une ellipse, un triangle équilatéral, un carré et un hexagone régulier. Ils correspondent à des axes perpendiculaires au plan de la figure. L’axe 2 est quelquefois parallèle au plan de la figure. Il est alors représenté par une flèche qui indique sa position et sa direction.
II-2-1-2- Représentation graphiques d’axes propres n: L’axe d’ordre 1 correspond à l’opération identité. les autres axes sont représentés dans les diagrammes par des symboles graphiques (tableau suivant).
Ces symboles des axes 2,3,4,6 sont respectivement une ellipse, un triangle équilatéral, un carré et un hexagone régulier. Ils correspondent à des axes perpendiculaires au plan de la figure. L’axe 2 est quelquefois parallèle au plan de la figure. Il est alors représenté par une flèche qui indique sa position et sa direction.
Axe n 1 2 3 4 6
Représentation graphique d’un axe perpendiculaire au plan du
dessin Néant
Perpendiculaire au plan
Parallèle au plan
Terminologie Identité Axe binaire Axe ternaire Axe
quaternaire Axe sénaire
II-2-2-Axes de rotation impropres
II-2-2-1- définitions: Opération qui consiste en une rotation d’un angle = suivie � nécessairement d’une inversion dans un centre situé sur l’axe de rotation.
L’élément de symétrie est appelé axe d’inversion . Les deux opérations partielles successives ne peuvent pas être dissociées. L’existence d’un axe d’inversion n’implique pas à priori l’existence indépendante d’un axe de rotation ordinaire (axe de rotation direct) et d’un centre de symétrie (centre d’inversion). Symbole d’un axe d’inversion
Exemple: ;
II-2-2-Axes de rotation impropres
II-2-2-1- définitions: Opération qui consiste en une rotation d’un angle = suivie � nécessairement d’une inversion dans un centre situé sur l’axe de rotation.
L’élément de symétrie est appelé axe d’inversion . Les deux opérations partielles successives ne peuvent pas être dissociées. L’existence d’un axe d’inversion n’implique pas à priori l’existence indépendante d’un axe de rotation ordinaire (axe de rotation direct) et d’un centre de symétrie (centre d’inversion). Symbole d’un axe d’inversion
Exemple: ;
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 11 03/11/2022
II-2- Symétries d’orientation
L’opérateur inversion i= transforme le point p (x, y, z) au point p’((, , ) si le centre d’inversion est à l’origine des axes.
L’opérateur réflexion m ou (miroir confondu avec le plan (xoy)) transforme le point p (x, y, z) en point p’ , y, ).(�
II-2-1-2- Représentation graphiques d’axes impropres : II-2-1-2- Représentation graphiques d’axes impropres :
Axe
Représentation graphique d’un axe perpendiculaire au plan du dessin
Perpendiculaire au plan
Parallèle au plan
Interprétation équivalent à un centre d’inversion
équivalent à un plan de symétrie ou miroir
équivalent à un axe 3 confondu
avec lui et un centre de symétrie (1)
=3+1
entraine l’existence d’un
axe 2 confondu avec lui
équivalent à un axe 3 confondu avec lui et un miroir =3/m
Positions équivalentes Représentation
graphique d’un axe perpendiculaire au plan du dessin
Perpendiculaire au plan
Parallèle au plan
Interprétation
Positions équivalentes
Une représentation commode des éléments de symétrie d’un cristal est leur projection stéréographique. On choisit une sphère de centre O et de rayon R.
On l’oriente par un axe Nord-Sud. Le plan équatorial sera le plan de projection.
Tout point de l’hémisphère nord sera représenté par l’intersection avec le plan équatorial de la droite issue du pole sud et joignant le point à projeter et réciproquement pour les points de l’hémisphère sud avec la droite issue du pole nord.
II-2- Symétries d’orientation
II-2-3- La projection stéréographique
03/11/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 13
Principe de la PS: Si on dispose un cristal au centre O de la sphère de manière que son axe de plus grande symétrie soit suivant NS. Si on dispose ses dimensions négligeables devant R. les différents éléments de symétrie sont issus de O. Dans le plan de projection, on projette ce qui est en haut par une croix (X), ce qui est en bas par un rond (O). Les axes coupent la sphère en des points. Les miroirs la coupent suivant des cercles. Les plans diagonaux dans le système cubique la coupe suivant des cônes. Les projections stéréogrammes permettent ainsi de voir tous les éléments de symétrie et leurs disposition, donc déduire le groupe ponctuel.
II-2-3-1- Exemples de la projection stéréographique des axes propres et impropres:
Dans les exemples suivants, le point de départ de l’opération de symétrie est considéré toujours dans l’hémisphère nord.
Axes de rotation n
On remarque dans le cas des axes de rotation direct que les points équivalents par symétrie sont toujours situés dans l’hémisphère nord (uniquement des croix).
Axes de rotation –inversion
On remarque dans le cas des axes d’inversion (rotation + inversion) que les points équivalents par symétrie sont partagés entre l’hémisphère nord (les croix) et l’hémisphère sud (les ronds).
Dans les exemples suivants, le point de départ de l’opération de symétrie est considéré toujours dans l’hémisphère nord.
Axes de rotation n
On remarque dans le cas des axes de rotation direct que les points équivalents par symétrie sont toujours situés dans l’hémisphère nord (uniquement des croix).
Axes de rotation –inversion
On remarque dans le cas des axes d’inversion (rotation + inversion) que les points équivalents par symétrie sont partagés entre l’hémisphère nord (les croix) et l’hémisphère sud (les ronds).
Axe n 1 2 3 4 6
Projection stéréographique
Axe
Projection stéréographique (Fig. II-9)
Projection stéréographique (Fig. II-9)
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 15 03/11/2022
II-2- Symétries d’orientation
II-2-3-1- Exemples de la projection stéréographique des classes cristallines : m, 1m, 2mm, 3m, 4mm et 6mm:
1m: un miroir perpendiculaire au plan du dessin
2mm: l’axe d’intersection de deux miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 2.
3m: l’axe d’intersection de trois miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 3.
4mm: l’axe d’intersection de quatre miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 4.
6mm : l’axe d’intersection de six miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 6.
II-2-3-1- Exemples de la projection stéréographique des classes cristallines : m, 1m, 2mm, 3m, 4mm et 6mm:
1m: un miroir perpendiculaire au plan du dessin
2mm: l’axe d’intersection de deux miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 2.
3m: l’axe d’intersection de trois miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 3.
4mm: l’axe d’intersection de quatre miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 4.
6mm : l’axe d’intersection de six miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 6.
Combinaison d’axes propres et impropres 1m 2mm 3m 4mm
Projection stéréographique (Fig. II-10)
II-2-3-1- Exemples de la projection stéréographique des classes cristallines : 222, 32, 422 et 622.
2: axe de rotation direct perpendiculaire au plan du dessin.
222: deux axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan (un suivant ox et l’autre suivant oy) et leur intersection est un axe d’ordre 2 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
32: trois axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 3 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
422: quatre axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 4 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
622: six axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 6 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
II-2-3-1- Exemples de la projection stéréographique des classes cristallines : 222, 32, 422 et 622.
2: axe de rotation direct perpendiculaire au plan du dessin.
222: deux axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan (un suivant ox et l’autre suivant oy) et leur intersection est un axe d’ordre 2 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
32: trois axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 3 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
422: quatre axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 4 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
622: six axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 6 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz.
Combinaison d’axes propres et impropres 222 32 422
Projection stéréographique
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 17 03/11/2022
II-2- Symétries d’orientation
II-2-3-2- Représentation et répartition des trente deux classes cristallines:
Les axes de symétrie sont orientés selon les directions des axes du système de coordonnées du système considéré. Pour les miroirs, c’est la direction de la normale au plan qu’est prise en compte. Dans les systèmes possédant un axe de symétrie d’ordre supérieur à 2, (axe principal) la direction de l’axe z est celle de l’axe de symétrie d’ordre le plus élevé du groupe. Les classes du système trigonal font exception à cette règle.
Les trente deux classes cristallines sont réparties sur les 7 systèmes cristallins comme suit:
II-2-3-2- Représentation et répartition des trente deux classes cristallines:
Les axes de symétrie sont orientés selon les directions des axes du système de coordonnées du système considéré. Pour les miroirs, c’est la direction de la normale au plan qu’est prise en compte. Dans les systèmes possédant un axe de symétrie d’ordre supérieur à 2, (axe principal) la direction de l’axe z est celle de l’axe de symétrie d’ordre le plus élevé du groupe. Les classes du système trigonal font exception à cette règle.
Les trente deux classes cristallines sont réparties sur les 7 systèmes cristallins comme suit:
Système Triclinique Monoclinique Orthorhombique Trigonal Tétragonal Héxagonal Cubique Groupes
ponctuels (classes cristallines)
�, �, , �/� ���, ���, 2/� /� /� 2 2
�, , ��,
�� /�, 2
�, , 4/�,
���,
���, ��,
�/���
�, , �/�,
���,
���,
��,
�/���
��, 2/�,
, ,
��� ��
4/� /� 2
Système Triclinique Monoclinique Orthorhombique Trigonal Tétragonal Héxagonal Cubique Groupes
ponctuels (classes cristallines)
���, ���, 2/� /� /� 2 2
Les différentes opérations de symétrie à prendre en considération dans les figures périodiques infinies sont de deux types:
Celles qui dérivent des rotations: ce sont des opérations de symétrie hélicoïdales. Les éléments de symétrie correspondants sont appelés axes hélicoïdaux.
Celles qui dérivent de la rotation –inversion (les autres ordres ne sont pas concernés) : ce sont des opérations de symétrie de glissement. Les éléments de symétrie correspondants sont les plans de glissement.
II-3-1- Axes hélicoïdaux:
Etant donné un axe de rotation n et un nombre t positif, un axe hélicoïdal nt donne lieu à l’opération suivante :
Rotation de autour de l’axe suivie d’une translation, parallèlement à l’axe.
Égale à t/n fois la période de l’axe.
Les différentes opérations de symétrie à prendre en considération dans les figures périodiques infinies sont de deux types:
Celles qui dérivent des rotations: ce sont des opérations de symétrie hélicoïdales. Les éléments de symétrie correspondants sont appelés axes hélicoïdaux.
Celles qui dérivent de la rotation –inversion (les autres ordres ne sont pas concernés) : ce sont des opérations de symétrie de glissement. Les éléments de symétrie correspondants sont les plans de glissement.
II-3-1- Axes hélicoïdaux:
Etant donné un axe de rotation n et un nombre t positif, un axe hélicoïdal nt donne lieu à l’opération suivante :
Rotation de autour de l’axe suivie d’une translation, parallèlement à l’axe.
Égale à t/n fois la période de l’axe.
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 19
Les translations égales ou multiples du paramètre sont considérées comme des opérations identité. Seules nous intéressent égales à une fraction de paramètre.
Donc : 0<t<n.
II-3-1-1- Etudes des différents axes hélicoïdaux:
Nous utiliserons comme précédemment la projection notée. Chaque position (ou atome) de la maille située à une cote z positive par rapport à l’origine sera désignée par +. Le paramètre de l’axe sera pris pour unité. Les translations seront des fractions d’unité qui vont caractériser les différentes positions obtenues par symétrie. L’axe est normal au plan de la feuille (où se trouve l’origine). D’autre part, les seuls axes possibles dans les figures périodiques infinies sont les axes d’ordre 2, 3, 4 et 6.
Les translations égales ou multiples du paramètre sont considérées comme des opérations identité. Seules nous intéressent égales à une fraction de paramètre.
Donc : 0<t<n.
II-3-1-1- Etudes des différents axes hélicoïdaux:
Nous utiliserons comme précédemment la projection notée. Chaque position (ou atome) de la maille située à une cote z positive par rapport à l’origine sera désignée par +. Le paramètre de l’axe sera pris pour unité. Les translations seront des fractions d’unité qui vont caractériser les différentes positions obtenues par symétrie. L’axe est normal au plan de la feuille (où se trouve l’origine). D’autre part, les seuls axes possibles dans les figures périodiques infinies sont les axes d’ordre 2, 3, 4 et 6.
03/11/2022
II-3- Symétries de position
03/11/2022
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 21
II-3- Symétries de position
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 23 03/11/2022
Représentation et positions équivalentes
II-3- Symétries de position
II-3-2- Les plans de glissement
L’opération plan de glissement est une symétrie par rapport à un plan (miroir) suivie nécessairement d’une translation suivant une rangée parallèle à ce plan.
Comme pour les axes hélicoïdaux, il y a une stricte limitation des translations possibles, qui est due au caractère périodique de la figure ci après.
Partant de la position I, on aboutit à une position II. Si maintenant on applique l’opération à la position II, on doit retrouver la position I décalée d’un paramètre. Par conséquent la translation est nécessairement égale à la moitié de la période de la rangée considérée.
II-3-2- Les plans de glissement
L’opération plan de glissement est une symétrie par rapport à un plan (miroir) suivie nécessairement d’une translation suivant une rangée parallèle à ce plan.
Comme pour les axes hélicoïdaux, il y a une stricte limitation des translations possibles, qui est due au caractère périodique de la figure ci après.
Partant de la position I, on aboutit à une position II. Si maintenant on applique l’opération à la position II, on doit retrouver la position I décalée d’un paramètre. Par conséquent la translation est nécessairement égale à la moitié de la période de la rangée considérée.
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 25
II-3-2-1-Symboles et nature des plans de glissement
Etant donné une maille de paramètres linéaires a, b, c, les translations seront données dans le tableau suivant :
II-3-2-1-Symboles et nature des plans de glissement
Etant donné une maille de paramètres linéaires a, b, c, les translations seront données dans le tableau suivant :
03/11/2022
Symbole m a b c n d
Nature de la translation
Plan
ordinaire, sans
translation
(a/2) le long de x
(b/2) le long de y
(c/2) le long de z; (a+b+c)/2 le
long de la direction [111]
en axes rhomboédriques
.
(a+b)/2 ou (b+c)/2 ou (a+c)/2 ou (a+b+c)/2 (quadratique
et cubique)
(a ± b)/4 ou (a ± c)/4 ou (b ± c)/4 ou (a ± b ± c )/4 (quadratique et
cubique) II-3- Symétries de position
II-3-2-2- Représentations graphiques et symboles
Les plans de glissement ont pour symboles des lettres et pour symboles graphiques des traits continus ou discontinus comportant parfois des flèches.
Fixant ainsi le type de plan, et sa disposition dans la maille.
Comme pour les axes hélicoïdaux, on notera que le nombre d’opérations de symétrie est le même pour le miroir et le plan de glissement.
Les plans de glissement a, b, c sont dits axiaux, les plans n sont dits diagonaux, les plans d sont appelés plans de glissement du diamant.
II-3-2-2- Représentations graphiques et symboles
Les plans de glissement ont pour symboles des lettres et pour symboles graphiques des traits continus ou discontinus comportant parfois des flèches.
Fixant ainsi le type de plan, et sa disposition dans la maille.
Comme pour les axes hélicoïdaux, on notera que le nombre d’opérations de symétrie est le même pour le miroir et le plan de glissement.
Les plans de glissement a, b, c sont dits axiaux, les plans n sont dits diagonaux, les plans d sont appelés plans de glissement du diamant.
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 27 03/11/2022
II-3-2-3- Représentation et exemples de groupes spatiaux
Les groupes ponctuels sont représentés en projection stéréographique, méthode convenant à l’étude de directions équivalentes. Dans les groupes spatiaux il s’agit de représenter des positions équivalentes. Aussi utilise –t- on simplement la projection cotée de la maille.
Chacun des paramètres est pris comme unité. Les coordonnées sont dites relatives: elles s’expriment en fractions de paramètres. Ces coordonnées repèrent les positions dans la maille ainsi que les éléments de symétrie. On représente la projection de la maille par le quadrilatère de cotés et (parallélogramme, rectangle, carré ou losange selon le système). Les projections x et y suivant et respectivement sont visibles sur la projection. La coordonnée z (suivant est portée sur la position (ou l’élément de symétrie) dont on veut repérer la cote.
II-3-2-3- Représentation et exemples de groupes spatiaux
Les groupes ponctuels sont représentés en projection stéréographique, méthode convenant à l’étude de directions équivalentes. Dans les groupes spatiaux il s’agit de représenter des positions équivalentes. Aussi utilise –t- on simplement la projection cotée de la maille.
Chacun des paramètres est pris comme unité. Les coordonnées sont dites relatives: elles s’expriment en fractions de paramètres. Ces coordonnées repèrent les positions dans la maille ainsi que les éléments de symétrie. On représente la projection de la maille par le quadrilatère de cotés et (parallélogramme, rectangle, carré ou losange selon le système). Les projections x et y suivant et respectivement sont visibles sur la projection. La coordonnée z (suivant est portée sur la position (ou l’élément de symétrie) dont on veut repérer la cote.
II-3- Symétries de position
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 29 03/11/2022
II-3- Symétries de position
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 31 03/11/2022
II-3-2-4- Symbole du groupe spatial :
C’est le même que celui du groupe ponctuel dont il dérive, corrigé ou complété par des indications relatives aux opérations de symétrie avec translation :
La première lettre indique le type de réseau : P, I, F, A, B, C ou R Des axes de rotations sont parfois remplacés par axes hélicoïdaux Des miroirs sont parfois remplacés par des plans de glissement.
exemples:
comment lire le symbole suivant ���/�
-P majuscule désigne un groupe spatial à 3 dimensions,
-Dont les opérateurs de symétrie sont ceux de la classe cristalline 2/m, mais où l’axe binaire s’est transformé en axe hélicoïdal ��,
-le système compatible avec �//� est le système monoclinique,
-et le mode de réseau est le mode primitif de ce système monoclinique.
II-3-2-4- Symbole du groupe spatial :
C’est le même que celui du groupe ponctuel dont il dérive, corrigé ou complété par des indications relatives aux opérations de symétrie avec translation :
La première lettre indique le type de réseau : P, I, F, A, B, C ou R Des axes de rotations sont parfois remplacés par axes hélicoïdaux Des miroirs sont parfois remplacés par des plans de glissement.
exemples:
comment lire le symbole suivant � ��///////////////
-P majuscule désigne un groupe spatial à 3 dimensions,
-Dont les opérateurs de symétrie sont ceux de la classe cristalline 2/m, mais où l’axe binaire s’est transformé en axe hélicoïdal ��,
-le système compatible avec �/ est le système monoclinique,
///////////// /
-et le mode de réseau est le mode primitif de ce système monoclinique.
II-3- Symétries de position
II-3-2-4- Symbole du groupe spatial :
Le tableau donne des exemples simples de groupes spatiaux qui ont en dérivent.
Tableau : groupes ponctuels et les groupes spatiaux correspondants.
II-3-2-4- Symbole du groupe spatial :
Le tableau donne des exemples simples de groupes spatiaux qui ont en dérivent.
Tableau : groupes ponctuels et les groupes spatiaux correspondants.
Système Triclinique Monoclinique Orthorhombique Héxagonal Cubique Mode de réseau
P P P P P
Groupes
ponctuels (classes
cristallines) � �/� � � � �/��� � �
Groupe spatial
�� ���/� ������� ����� ����
Système Triclinique Monoclinique Orthorhombique Héxagonal Cubique Mode de réseau
P P P P P
Groupes
ponctuels (classes
cristallines) � �/� � � � �/���
Groupe spatial
�� ���/� ������� ����� ����
Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 33 03/11/2022
II-3-2-4- Symbole du groupe spatial :
Le dénombrement des groupes spatiaux à 3 dimensions est abouti au nombre de 230 groupes. Il décrive les 230 manières différentes d’arranger régulièrement dans l’espace des éléments de symétrie relatifs à des figures périodiques infinies tridimensionnelles. Ici encore, le groupe spatial résulte de la combinaison d’un mode de réseau avec un ”groupe ponctuel” appartenant au même système. Les 230 groupes spatiaux sont décrits dans les ”tables Internationales de cristallographie ” et ils sont réparties sur les 7 systèmes cristallins comme suit:
II-3-2-4- Symbole du groupe spatial :
Le dénombrement des groupes spatiaux à 3 dimensions est abouti au nombre de 230 groupes. Il décrive les 230 manières différentes d’arranger régulièrement dans l’espace des éléments de symétrie relatifs à des figures périodiques infinies tridimensionnelles. Ici encore, le groupe spatial résulte de la combinaison d’un mode de réseau avec un ”groupe ponctuel” appartenant au même système. Les 230 groupes spatiaux sont décrits dans les ”tables Internationales de cristallographie ” et ils sont réparties sur les 7 systèmes cristallins comme suit:
II-3- Symétries de position
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Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux
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