MP – Physique-chimie. Travaux dirigés
Jean Le Hir, 28 mars 2008 Page 1 sur 1
Mécanique du solide. Chute d’une tartine beurrée - corrigé 1- En notant T=Trˆ
et N = θNˆ
(T et N algébriques), le théorème de la résultante cinétique s’écrit :
ˆ ˆ ˆ
maG =Tr+ θ +N mg En projection sur ˆr :
d 2
d sin
m T mg
t θ
− δ = + θ
En projection sur ˆθ en :
2 2
d cos
m d N mg
t
δ θ= + θ.
2- La tartine est un solide en rotation autour de l’axe fixe Oy. Le théorème du moment cinétique en O s’écrit :
2 2
d cos
Oy d
J mg
tθ = + δ θ soit
2
2 2
d 3
d 1 3 cos
g
t a
θ = η θ
+ η On multiplie les deux membres par d
d t
θ pour obtenir
2
2
1 d d 3 d
2 d d 1 3 cos d
g
t t a t
θ η θ
= θ
+ η
et on intègre de pour aboutir à la relation demandée :
2
2 2
2 0
d 6
sin sin
d 1 3
g
t a
θ η
= ω = θ = ω θ
+ η
avec 20 6 2
1 3 g a ω = η
+ η
3- La tartine n’étant soumise qu’à son poids, de moment nul par rapport à G, le théorème du moment cinétique au point G s’exprime ainsi : d
d 0 LG
t =
avec * 1 2
2 ˆ
G Gy
L = =L J ω y
. La vitesse de rotation reste donc constante à la valeur ω0 et ( ) 0
t π2 t θ = + ω .
4- Il faut que θ > 1 3 2
θ = π pour que la tartine retombe sur le côté non beurré (en admettant qu’elle fait moins d’un tour).
5- Remarque. Avec δa, la chute libre de la tartine commence lorsque le point G est en O, et non pas l’extrémité de la tartine.
La valeur de τ donnée dans l’énoncé correspond à la valeur de la durée de la chute libre supposée commencer lorsque le bord de la tartine est en O, avec vitesse initiale nulle.
Application numérique : τ = 0,36 s. Le rattrapage de la tartine demande des réflexes extrêmement affutés.
6- La valeur limite de η est celle qui fait que l’angle θ a la valeur limite θ1 à l’arrivée sur le sol. On écrit donc que θ = θ1 au temps τ. On arrive alors à η = αmin (en utilisant ici l’approximation η1 pour écrire 02 6 g
ω = ηa).
Application numérique : η =min 0, 06 ; comme η est en pratique de l’ordre de 0,02, la tartine tombe du côté beurré.
