Diophante D1858 La saga de l'angle de 45°
Prenons un repère orthonormé où les coordonnées de A, B et C sont respectivement (0,0), (t,0) et (1,1) (angle de 45°).
BC2 = (t-1)2 + 1.
Celles de B1, C1 et M sont respectivement (t/2,t/2), (1,0) et ((t+1)/2,1/2).
La droite AM a pour équation x – (t+1)y = 0.
La droite BB1 a pour équation x + y = t.
La droite symétrique de la droite AM par rapport à la hauteur BB1 passe par le symétrique de A par rapport à B1, dont les coordonnées sont (t,t), et par le point d’intersection des droites AM et BB1, dont les coordonnées sont (t(t+1)/(t+2),t/(t+2)).
Elle a pour équation (t+1)x – y = t2. (I) La droite CC1 a pour équation x = 1.
La droite symétrique de la droite AM par rapport à la hauteur CB1 passe par le symétrique de A par rapport à C1, dont les coordonnées sont (2,0), et par le symétrique de M par rapport à la hauteur BB1, dont les coordonnées sont ((-t+3)/2,1/2)).
Elle a pour équation x + (t+1)y = 2. (II)
(I) et (II) donnent les coordonnées de X : (t – 1 + 4/P(t), – 1 + 4(t+1)/P(t)) où P(t) = t2 + 2t + 2.
[ 8(t-1)/P(t) + 16/P2(t) ] + [ – 8(t+1)/P(t) + 16(t+1)2/P2(t) ] = 0.
AX2 = (t-1)2 + 1 = BC2. AX = BC
Jean-Louis Legrand
