D1858. La saga de l’angle de 45
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i´emeepisode) ´
Dans le triangleABC dont l’angle enAvautα, on a : AH = BC
tgα
(AH est constant quandAd´ecrit le cercleΓ circonscrit `a ABC et on trouve facilement l’´egalit´e ci-dessus quand le triangle est rectangle enB ou enC).
Donc AH = BC quand α = 45o, et nous allons ´etudier les conditions pour queAX =AH.
Etape 1: X appartient au cercleΓsym sym´etrique deΓ par rapport `aBC.
(Dpoint quelconque sur BC,A2sym´etrique deApar rapport `aBC Y =AD∩BB1 etZ =AD∩CC1)
XY coupeAC enB2 tel queAB2= 2AB1et XZ coupeABenC2tel que AC2= 2AC1
B2 etC2 appartiennent `aΓsym:
Puissance de A /Γsym =AH×AA2=AB×AC2=AC×AB2 (parce queAB×AC1=AH×AA1=AC×AB1)
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Dans l’hexagoneBHCB2XC2, les cot´es oppos´es se coupent aux points align´es A,Y etZ. Les 6 points appartiennent donc `a une conique qui est n´ecessairement Γsym.
Etape 2: la conjugu´ee isogonale deAD dansABC est orthogonale `aHX XHB\1 =XC\2B=BAD\
BC ⊥AH ⇒ AK⊥HX Etape 3: angle inscrit en X
ZHY\ = α ⇒ XZY\ +ZY X\ = 2α ⇒ C\2XB2 = 2α Etape 4: α= 45o
B2C2est un diam`etre deΓsym
Les trianglesABC etAB2C2sont indirectement semblables.
AH =AX si la m´ediatrice deHX passe par la centreJ deΓsym, et donc si AJ est la m´ediane issue deAdansAB2C2.
En vertu du point pr´ec´edent, AD est aussi la m´ediane issue de A dans ABC : D est confondu avec M milieu de BC.
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