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La saga des dichotomies

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Academic year: 2022

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La saga des dichotomies

(7ième épisode) Problème D1835 de Diophante

Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer

Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.

Déterminer le lieu du milieu M de [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.

Solution

Le problème est purement affine.

Soit P = (1-p)A+pB un point de AB et Q = (1-q)A+qC un point de AC alors le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales, lorsque 2*p*q = 1 . Cette condition implique 0.5 ≤ p,q ≤ 1.

Dans le repère (A,vect(AB),vect(AC)), le point S = P+Q-A a p pour abscisse et q pour ordonnée. Lorsque p varie de 0,5 à 1, le point S parcourt une portion

d’hyperbole et le point M (milieu de AS) aussi.

Ainsi M = ((2-p-q)A+pB+qC)/2

Le lieu cherché est l’union de trois arcs d’hyperboles, dont les extrémités sont les milieux des médianes du triangle ABC .

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