D1996. La saga de l’angle de 60
0(14` eme ´ episode)
Soient G et H le centre de gravit´e et l’orthocentre d’un triangle acutangle ABC avec AB 6= AC. La droite AG coupe le cercle circonscrit au triangle ABC aux points A et M. Soit N le sym´etrique de M par rapport `a la droite BC. D´emontrer que l’angle BAC est ´egal `a600 si et seulement si GH = GN.
HetN appartiennent au cercleΓ2de centreO0, sym´etrique deΓ1par rapport
` a BC.
Soient Dg la perpendiculaire `a HN men´ee par G, et Dn celle men´ee par N. Dn passe par A0 qui est `a la fois diam´etralement oppos´e `a H sur Γ2 et sym´etrique de Apar rapport au milieuDdeBC;A0 appartient donc `a AM. Pour qu’on ait l’´egalit´eGH =GN, Dg doit ˆetre la m´ediatrice deHN, donc passer parO0.
E ´etant le milieu deM N, J la projection de A0 sur BC et F l’intersection deDnet deBC,(D, E, F, J)forment une division harmonique (remplacerC parBsiApasse `a droite).
QuandAd´ecrit Γ1, Dnpasse parS pˆole deBC par rapport `a Γ2 :
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la puissance deS par rapport `aΓ2 est ´egale `a SN ×SA0 =DM×DA0× cos(O\0SA0)2 cos(O\0DA0)
2 = SC2
c’est-`a-dire la puissance deDpar rapport `aΓ1ouΓ2, multipli´ee par un facteur constant (`a cause de la division harmonique(D, E, F, J)).
G est homoth´etique de A dans l’homoth´etie de centre D et de rapport 1/3, ou de A0 dans l’homoth´etie de centreD et de rapport -1/3. Donc Dg est ho- moth´etique de Dnet passe par le point fixeT avecDT =−DS
3 . T est confondu avec O0si et seulement siBAC\ = 600.
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